Пусть у нас имеется событие А. предположим, что данное событие может произойти только при условии наступления другого события, а именно одного из несовместных событий $В_1, В_2, В_3… В_n$. Необходимо отметить, что все события $B_i$, где i от 1 до n, составляют полную группу событий. Теперь установим, что нам известны вероятности для любого из событий $B_i$, где i от 1 до n, тогда определим каким образом можно вычислить вероятность события А. 

Объяснение и определение формулы Бейеса

Определение 1

Стоит отметить, что А происходит в случае выполнения любого $B_i$, заранее не установлено, какое из них возникнет, поэтому все эти события, $B_i$, названы гипотезами.

Вероятность события А, выведенного в определении, согласно теореме о вычислении полной вероятности может быть записано следующим образом:

$P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+ P(B_2)P_{B_2}(A) + P(B_3)P_{B_3}(A) + … +  P(B_n)P_{B_n}(A)$ (1)

Предположим, что нами проведен эксперимент, в результате которого выполнилось событие А. Теперь определим изменились ли, а если изменились, то как именно вероятности выполнения гипотез. Переформулируя мы получаем, что ведём поиск условных вероятностей событий $B_i$ при условии выполнения А.

Мы хотим узнать следующие величины $P_А(B_1), P_А(B_2), P_А(B_3) … P_А(B_n) $.

Распишем сначала условную вероятность для первого события:

$ P(АB_1) = P(А) Р_А(В_1) = Р(B_1) P_{В_1}(А) $.

Из этого выражения мы можем выразить интересующий нас элемент:

$ P_А(В_1) = \frac {Р(B_1) P_{В_1}(А)}{P(A)} $.

Теперь в данном выражении производим замену Р(А) согласно формуле полной вероятности (1), в итоге получим полное выражение для первого события из набора $B_i$:

$ P_А(В_1) = \frac {Р(B_1) P_{В_1}(А)}{ P(B_1)P_{B_1}(A)+ P(B_2)P_{B_2}(A) + P(B_3)P_{B_3}(A) + … +  P(B_n)P_{B_n}(A)} $.

Точно также можно вывести выражения и для других гипотез $B_i$, где i от 1 до n.

Формула Бейеса в теории вероятности

Выражения для вычисления вероятности любой из гипотез носят название формулы Бейеса. Это имя они получили в честь английского учёного, который в 1764 году их вывел. 

В общем случае для гипотез $B_i$, где i от 1 до n, формула Бейеса записывается таким образом:

$ P_А(В_i) = \frac {Р(B_i) P_{В_i}(А)}{ P(B_1)P_{B_1}(A)+ P(B_2)P_{B_2}(A) + P(B_3)P_{B_3}(A) + … +  P(B_n)P_{B_n}(A)} $.

Есть и более компактная форма записи данного выражения:

$P_A(B_i)=\frac{P(B_i)P_{B_i}(A)}{\sum_{k=1}^n P(B_k)P_{B_k}(A)}$

Практическое значение формулы Бейеса заключается в том, что она дает возможность провести переоценку вероятности появления гипотез уже после завершения эксперимента и появления его исхода — события А.

Формула Бейеса: примеры решения задач

Пример 1

Изделия, которые выпускает предприятие попадают к сотрудникам отдела технического контроля (ОТК). Всего в отделе работает два человека и изделие будет осматривать один из них. Вероятность того, что его осмотрит первый сотрудник составляет 0,7, вероятность того, что им будет заниматься второй сотрудник составляет 0,3. Согласно статистике, которая ведётся на предприятии, выяснено — вероятность, что при попадании к первому сотруднику изделие будет сочтено годным, составляет 0,94. А при попадании ко второму этот параметр увеличивается и достигает 0,98. В результате испытания изделие было признано годным, требуется найти вероятность, что изделие попало на проверку к первому сотруднику.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Во время соревнований, на стрельбище, каждый из трёх спортсменов поочерёдно идёт на линию огня и дважды стреляет. При этом вероятность поразить мишень при первом же выстреле распределяется между стрелками следующим образом: 

0,3 для первого из спортсменов;

0,5 для второго;

0,8 для третьего.

Событие после первого выстрела — мишень не прострелена. Требуется вычислить вероятность того, что стрельба велась первым спортсменом.

Пример 3

В цеху механической обработки есть три станка ЧПУ. На них проводят изготовление одинаковых деталей, которые затем отправляются в другой цех. Опытным путём выяснено, что станки дают следующий процент бракованных изделий:

Первый — 2%

Второй — 7%

Третий — 10%

При этом производительности станков также отличаются. У первого она в три раза выше чем у второго, а у второго в два раза больше, чем у третьего. Необходимо ответить на два вопроса:

Какой процент бракованных изделий попадает в соседний цех?

Какую часть от общего количества бракованных деталей даёт каждый станок?