Содержание:

В теории вероятности существует целый ряд предельных теорем. Одна из них это теорема Пуассона, она относится к возможности расчёта предельного распределения для количества реализаций определённого варианта, сама вероятность появления которого является малой, то есть речь идёт о редком событии. Применяется данная теорема в случае, когда речь идёт о большом числе экспериментов, являющихся независимыми.

Если количество испытаний достаточно большое, то вероятность чаще всего рассчитывают приблизительно – с помощью локальной теоремы Лапласа. Но теорема Лапласа недостаточно точна, слишком велика погрешность, если значение вероятности меньше 0,1. Поэтому здесь используют другой метод, и именно распределение Пуассона.

Определение 1. Теорема Пуассона

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_n$ — вероятность «успеха», $ \mu _n$ — количество «успехов».

Тогда если

$1. \lim_{n \rightarrow \infty}np_n=\lambda$

$2. \lambda>0$

Должно выполняться

$\lim_{n \rightarrow \infty}P(\omega:\mu_n=m)=e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^m}{m!}$

Определение 2

Либо можно применять другую формулировку Теоремы Пуассона, которая полностью тождественна определению 1.

Если количество испытаний велико, а вероятность выполнения события в отдельном эксперименте очень мала (менее 0,1), то вероятность события, при котором в данной серии испытаний искомый результат появится один раз, можно приближенно вычислить по формуле Пуассона:

$p_m \approx e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^m}{m!}, если \lambda=np$

Дополнительно отметим, что ноль факториал 0!=1, а значит, формула имеет смысл и для m=0. Вместо «лямбды» также используют букву «$mu$».

Вывод формулы Пуассона

Пусть производится серия n независимых испытаний (n = 1, 2, 3…), причем вероятность появления данного события А в этой серии pn = P(A) >0 зависит от её номера n и стремится к нулю при  $n\rightarrow\infty$(последовательность «редких событий»).  Предположим, что для каждой серии среднее значение числа появлений события А постоянно, $p_n=\mu=const$ $p_n=\frac{\mu}{n}$ 

На основании биноминальной формулы для вероятности появления события А в n-ой серии равно m раз имеем:  

$P_n(m)=C_n^m \cdot p_n^m \cdot(1-p_n)^{n-m}=C_n^m \cdot(\frac{\mu}{n})^m \cdot(1-\frac{\mu}{n})^{n-m}$

Если m имеет фиксированное значение, a $n\rightarrow\infty$ то запишем

$C_n^m \cdot(\frac{\mu}{n})^m=\frac{n(n-1)(n-2)...[n-(m-1)]}{m! \cdot n^m} \cdot \mu^m = \frac{\mu^m}{m!}\cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n})...\cdot (1-\frac{m-1}{n}) \rightarrow\frac{\mu^m}{m!}$

Применяя второй замечательный предел, выводим следующее выражение:

Отсюда получим

$$(1-\frac{\mu}{n})^{n-m} = ((1-\frac{\mu}{n!})^{\frac{n}{\mu}})^\mu \cdot (1-\frac{\mu}{n})^{-m}\rightarrow e^{-\mu}\cdot 1=e^{-\mu}$$

При условии, что $ n\rightarrow\infty$

В итоге имеем:

$\lim_{n \rightarrow \infty}P_n(m)=\lim_{n \rightarrow \infty}C_n^m(\frac{\mu}{n})^n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty}(1-\frac{\mu}{n})^{n-m}=\frac {\mu^m}{m!}e^{-\mu}$

Если n велико, то вероятность $P_n(m)$ сколь угодно мало отличается от своего предела. Отсюда, при больших  n для искомой вероятности Pn(m) имеем приближенную формулу Пуассона:

$P(m)\approx e^{-\mu} \cdot \frac{\mu^m}{m!}$

Формулу Пуассона можно применять в случаях, когда число испытаний n «велико», вероятность события $p_n = p$ «мала».

Пример 1

Необходимо вычислить вероятность события заключающегося в том, что при доставании из корзины в которой содержится два шара чёрный и белый, белый шар будет вынут пять раз, а чёрный ни разу. Обозначим буквой В событие, при котором происходит однократное вынимание белого шара. Тогда можно записать:

$P(A)=\frac{1}{2} P_10(5)=C_10^5(\frac{1}{2})^5(\frac{1}{2})^{10-5}= \frac {10!}{5! \cdot 5!}(\frac{1}{2})^10=\frac {252}{1024}\approx 0,25$

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Для непрофессионального гольфиста средняя вероятность загнать мяч в лунку с одного удара составляет р=0,2. Требуется найти вероятность, что после сотни ударов, мяч окажется в лунке с первого раза в 20 случаях.

В данном случае 

$p=0,2; q=0,8; n=100; m=20; $

$\sqrt{n \cdot p \cdot q}=\sqrt{100 \cdot 0,2 \cdot 0,8}=4$

$t= \frac {m-np}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}=\frac {20-100\cdot0,2}{4}=0;$

$\phi_0(0)=\frac {1}{\sqrt{2\pi}}\cdot e^0\approx 0,4;$

$P_100(20)\approx0,4\cdot\frac{1}{4}=0,1$

Очевидно, что вероятность наступления такого события крайне невелика и событие можно определить как редкое.

Пример 3

При изготовлении изделий массовым способом, вероятность того, что появится бракованное изделие составляет 0,01. Необходимо определить величину вероятности, что в партии, содержащей 100 экземпляров, окажется два бракованных изделия. Очевидно, что вероятность предельно мала и составляет 0,01, а величина выборки велика и составляет 100, кроме того

$\mu=n\cdot p=100\cdot 0,01=1$

А значит с полным правом можно применить теорему Пуассона:

$P_{100}(20)\approx e^{-\mu}\cdot\frac{\mu^2}{2!}=e^{-1}\cdot\frac{1}{2}=0,184$

Пример 4

На завод по сборке автомобилей прибыла партия двигателей в 10 тысяч штук. Все двигатели подвергают проверке. Вероятность того, что один из них окажется негодным и будет забракован составляет 0,0002. Требуется определить вероятность того, что из всей партии бракованным окажется ровно один двигатель.

В данном случае количество экспериментов  велико, а вероятность «успеха» в каждом из них – мала, поэтому используем формулу Пуассона:

$P_m\approx e^{-\mu}\cdot\frac{\mu^m}{m!}$

Вычислим:

$\mu=n\cdot p= 10000 \cdot 0,0002=2$

среднеожидаемое количество вышедших из строя двигателей.

Таким образом:

$$P_1\approx e^{-2}\cdot\frac{2^1}{1!}$=2e^{-2}\approx0,2707$$

вероятность того, что за месяц из строя выйдет ровно  один двигатель (из 10 тысяч).