Содержание:

Для чего было изобретено распределение Пуассоном?

Эта теорема была выявлена для того, чтобы определять число событий, которые случатся в будущем.  Если говорить более формальным языком – для того, чтобы предугадать вероятность определенной численности событий, которые могут произойти в отведенный временной интервал. 

К примеру, в сфере продаж «событием» будет покупка, или численность посетителей в определенный отрезок времени. 

Дискретное распределение, которое весьма широко распространилось на практических решениях. Рассмотрим некоторый событийный ряд, где их наступление осуществляется независимо друг от друга и с определенной интенсивностью среднего значения - $\lambda$ (событий в единицу времени). Здесь случайная величина $X$, которая равняется числу событий $k$, случившихся в определенный временной промежуток, обладает распределением Пуассона. 

Вычислительный процесс вероятностей должен выполняться по нижеуказанной формуле:

$P_{X}(k)\approx\frac{\lambda{a^{k}}}{k!} e^{-\lambda}$, k=0,1,2…

Когда вычисляется случайная величина  по Пуассону у математического ожидания и дисперсии будут совпадения с интенсивностью ряда событий:

$M(X)=\lambda$, $ D(X)=\lambda$

 Когда показатель $\lambda$ увеличивается, происходит стремление этого распределения к нормальному распределению:

$N(\lambda,\sqrt\lambda)$

В то время как само распределение – приближенная модель биномиального распределения при высоких $n$ и критически низких $p$. 

Определение распределения Пуассона

Распределением по Пуассону называется распределение дискретного типа с определенной вероятностью, которое способно смоделировать рандомную величину, которая выступает численностью событий, случившихся в определенный промежуток времени. Важно учесть, что это только при условии, что они будут случаться с определенной средней интенсивностью, которая является фиксированной, и не будут состоять в зависимости друг от друга. Говоря иным языком, если событие будет происходить с определенной периодичностью, есть возможность определения вероятности того, что такое событие исполнится n раз за заданный временной период. 

На распределение Пуассона влияет только один параметр - $\lambda$, зависящий от вероятности удачного события и общего числа событий.

При удачном событии распределение будет применено только в том случае, если есть некое разделение на результат «нет» или «да». К примеру, заглох двигатель: да – удачное событие; упала тарелка: да и так далее по этой же системе. 

Стоит отметить, что удачное событие не означает «желаемое». 

$\lambda=n\times p$, где $p$ – вероятность удачного события, а $n$ –общее число событий, для которых планируется произвести расчетные действия. 

К примеру, если проливные дожди в определенных местах проходят один раз в месяц и есть необходимость рассчитать вероятность появления данного явления за период равный 24 месяцам, то вероятность будет равняться 1, в то время как число событий – 24, то есть лямбда будет равна 24. 

Можно произвести расчет и другим способом, вероятность проливного дождя в определенный день – 1/30, число событий равняется – 730 дням, тогда лямбда будет – 24,3. 

Для того чтобы стало более понятно разберем на конкретном примере:

В 1000 коробках с яблоками сорта спартан может попасться одна коробка с сортами кримсон. Какая будет вероятность того, что в 5000 коробках будет меньше 4 коробок с кримсон?

Вероятность того что попадется коробка с яблоками сорта кримсон – 0,1% (1 коробка на 1000 = 1/1000, если перевести эти параметры в процентное соотношение, то получается 1/1000 х 100 = 0,1 %).

Общее число событий будет равняться 5000 коробкам, то если расчет будет следующим:

$\lambda=5000\times0,001=5$    

Обстоятельства, при которых распределение Пуассона может возникнуть

Разберем подробно условия возникновения данного распределения. 

Первым делом отметим, что распределение Пуассона – предельно для биномиального распределения. То есть количество опытов $n$ не является ограниченным и возрастает (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность удачного события $p$ в одном опыте снижается без ограничений (то есть происходит стремление к нулю), но происходит это таким образом, что показатели $np$, умноженные друг на друга, сохраняют постоянную величину - $\lambda$.

Также распределение Пуассона работает и при потоке событий, которое называется простейшим (второе название – стационарный пуассоновский поток). Это определение является последовательностью таких действий, как, например, поступление звонков на узел связи и прочих. 

У Пуассоновского потока имеются следующие функции:

  •  Стационарность, что означает, что вероятность того, что события произойдут в отведенный промежуток времени, является постоянной и не имеет никакой зависимости с началом отсчета времени, но имеет с длиной временного участка;.
  •  Ординарность, что означает, что вероятность того, что произойдет попадание на небольшой участок времени 2-х и более событие несравнимо мало в сравнении с вероятностью попадания на него одного события.
  •  Нет последствий, то есть вероятность того, что события наступят в ограниченный временной период, не имеют никакой зависимости с тем, какое их число наступало в другой период. 

Формула, определяющая функцию вероятности

Вероятность свершения успешного события k количество раз:

$f(k)=P(k)=\lambda^{k}\times e^{-\lambda}\ / k!$

Для наглядности рассмотрим подробнее на конкретном примере:

В 1000 коробок с яблоками сорта спартан в одной из них может попасться сорт кримсон, какой будет вероятность того, что в 5000 коробках будет 2 коробки с яблоками сорта кримсон?

В прошлом примере было рассчитано, что $\lambda$ равняется 5. Теперь необходимо определить вероятность того, что $k$ будет равняться 2, для этого нам потребуется применить следующую формулу:

$f(4)=P(k=4)=\lambda^{k}\times e^{-\lambda}/k!=5^{2}\times e^{-5}/2!=0.084=8.4%$.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!