Определение 1

Если существует такой набор попарно несовместных событий, что при проведении испытания обязательно наступает одно из этих событий, то подобный набор называется полной группой.

Теорема 1

Если сложить вероятности полной группы событий, то результат будет равен единице. То есть если есть события А1, А2, … Аn и они являются полной группой, то всегда будет выполняться следующее выражение:

Р(А1)+P(А2)+ … +Р(Аn)=1.

Доказательство:

Исходя из определения полной группы, вероятность наступления события принадлежащего к ней является достоверным. А значит мы можем сделать следующую запись:

Р(А1+А2+ … +Аn)=1. (1)

События в полной группе являются попарно несовместными, а значит можно использовать теорему сложения и тогда получим, что:

Р(А1+А2+ … +Аn)=Р(А1)+P(А2)+ … +Р(Аn). (2)

Сравнивая выражения (1) и (2) получим результат:

Р(А1)+P(А2)+ … +Р(Аn)=1.

Определение 2

Два явления, создающих совместно полную группу называют противоположные события. Они обозначаются как А и $\overline{A}$.

Пример 1

При стрельбе возникает две ситуации: попадание и промах. Эти события являются противоположными, потому что они взаимоисключающие и помимо них нет никакого третьего варианта развития ситуации

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Предположим у нас есть ящик, в котором лежат шары двух цветов — белые и чёрные. При этом событие заключающееся в вытаскивании белого шара и событие заключающееся в вытаскивании чёрного шара являются противоположными. Они взаимно исключают друг друга и при этом полностью описывают все возможные ситуации в заданных условиях.

Пример 3

Предположим ситуацию — студент готовиться к экзамену. Тогда он заранее знает, что в день экзамена у него есть только две возможности: сдать экзамен или не сдать экзамен. Это и есть два противоположных события. В зависимости от качества его подготовки вероятность этих событий будет меняться. Конечно, готовиться лучше всего так, чтобы вероятность сдать экзамен была максимально большой.

Теорема 1

Определить вероятность противоположного события можно как $Р(\overline{A})=1-Р(А)$.

Доказательство

Обозначим буквой m — всё количество элементарных результатов эксперимента, а буквой n — количество результатов, соответствующих событию А. Тогда для противоположного события $\overline{A}$ количество элементарных результатов, ему соответствующих, будет (m-n). Теперь запишем вероятность противоположного события через элементарные результаты:

$Р(\overline{A})= \frac{m-n}{m}=\frac{m}{m}-\frac{n}{m}=1-P(A)$

В результате получили искомое выражение.

Теорема 2

Если вероятности противоположны событий суммировать, то результирующая вероятность будет равна единице. 

$Р(\overline{A})+P(A)=1$

Доказательство

Данную теорему легко вывести из теоремы предыдущей. Также верность теоремы следует из определения полной группы. Противоположные события как раз и являются таким набором, который образует полную группу. Как следует из теоремы о полной группе, сумма вероятностей событий входящих в полную группу равна единице. Отсюда можно сделать вывод, что сумма вероятностей противоположных событий тоже равна единице.

Появление понятия о противоположных событиях связано с удобством его применения во многих прикладных задачах. Часто встречаются ситуации, когда для упрощения требуется от основного события к противоположному. Приведём соответствующие примеры. 

Пример 1

Допустим у нас есть игральный кубик и необходимо определить вероятность выпадения числа шесть, четыре, три, два и единица. Всего у кубика шесть граней и поэтому полная группа составляет шесть событий. Для удобства и простоты вычислений мы может рассчитать вовсе не вероятность выпадения всех указанных в услови числе, а вычислить вероятность только для одного, для числа пять. Это событие будет обратным по отношению к выпадению чисел от единицы до четвёрки и отдельно шестёрки. Для выпадения числе пять вероятность найти очень легко:

$Р(\overline{A})= \frac{1}{6}-$.

Зная уже эту величину окажется гораздо проще вычислить величину искомую, она будет:

$Р(А)=1-Р(\overline{A})= 1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$

Пример 2

Рассмотрим другой, более сложный пример. Имеется два шестигранных игральных кубика. Необходимо вычислить вероятность, что при броске не выпадет число одиннадцать. Чтобы упростить решение задачи будем искать противоположное событие, а именно $\overline{A}$, которое заключается в том, что число одиннадцать выпадает.

Теперь представим сколько различных элементарных результатов соответствует данному событию $\overline{A}$. Анализ показывает, что таких события всего два: Анализ показывает, что таких события всего два: m=2. То есть если выпадает число 5 на первом кубике  и число 6 на втором или наоборот выпадает число 6 на первом и число 5 на втором.

Вычислиv общее количество элементарных результатов, которые могут получиться в условиях заданных в задаче: $n=6\dot 6=36$

Теперь, имея все необходимые вводные, выразим вероятность противоположного события:

$P(\overline{A})=\frac{m}{n}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$.

Теперь мы избавлены от необходимости перебирать все возможные результаты событий и можем перейти непосредственно к вычислению искомой вероятности используя теорему о вероятности противоположных событий:

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{18}=\frac{17}{18}$.

Итоговый результат: вероятность невыпадения числа одиннадцать как суммы цифр на двух кубиках будет равна 0,94.

Пример 3

Особенно удобно использовать обратную вероятность, если по истечении эксперимента можно получить очень много результатов. Так, если представить себе корзину, в которой находится сто шариков с номерами, то, например, вероятность того, что при изымании одно шарика из корзины нам не попадётся шестой было бы не просто вычислить, если бы не было введено понятие о противоположных событиях.

Теперь ясно, что взяв за основное событие А — шарик 6 не вынут, его противоположностью будет $\overline{A}$ — вынут шарик под номером шесть. Вероятность вынуть один шарик из ста составляет $\frac{1}{100}$. Тогда ответ на исходный вопрос — вероятность не вынуть один конкретный шарик составит:

$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}$.