Свойства функции распределения

Для описания вероятностей непрерывных случайных величин применяется функция распределения. С ними не возможно поступить как с дискретными случайными величинами, то есть задать ряд результатов эксперимента и ряд соответствующих им вероятностей. Непрерывные случайные величины могут принимать бесконечное множество значений. Поэтому для вычисления их вероятностей используются функции распределения. 

Сама функция F(x)определяется в точке x и имеет значение вероятности в том смысле, что случайная величина Х окажется в промежутке расположенном между минус бесконечностью и заданным значением х. Также функция обладает рядом особенностей.

Это свойство является прямым следствием определения функции распределения как вероятности. А значит, согласно этому определению, её значения представляют собой положительные или равные нулю числа, которые не могут быть больше единицы.

Доказательство

Примем, что $x_2>x_1$. Помня, что согласно определению Х<х, разделим данное утверждение на две части:

• Вероятность того, что Х окажется меньше, чем $x_1$ примем как Р(Х<$x_1$);
• Вероятность же другого события, состоящего в том, что $x_1\leq  X< x_2$.

Эти две части будут являться несовместными событиями. Теперь выполним сложение данных вероятностей, в итоге получим выражение:

$ P(X<x_2) = P(X<x_2)+P(x_1\leq X<x_2)$

Перенося слагаемое в левую часть выводим следующую формулу:

$ P(X<x_2) - P(X<x_2)=P(x_1\leq X<x_2)$

Очевидно, что слагаемые в левой части представляют собой функции распределения в точках $x_2, x_1$преобразуя получим:

$ F(x_2) - F(x_2)=P(x_1\leq X<x_2)$

Известно, что значение вероятности от любого аргумента не является отрицательным числом, поэтому можно справедливо предположить, что часть выражения, находящаяся слева также будет больше нуля, либо равна ему:

$ F(x_2) - F(x_2) \geq 0$

Из этого неравенства очевидно следует другое. Ведь если перенести функцию распределения от $x_2$ в правую часть, то получим:

$ F(x_2) \geq F(x_2) $

А это именно то, что и требовалось доказать.

Особое доказательство здесь не потребуется, ведь достаточно подставить a и b вместо $x_1, x_2$ в формулу $ F(x_2) - F(x_2)=P(x_1\leq X<x_2)$, полученную в ходе доказательства второго свойства функции распределения.

Доказательство

Применим формулу $ P(a\leq X<b)=F(b) - F(a)=$ из первого следствия. Заменим в ней a на $x_1$ и b на $x_1+ \triangle x$. Полученное выражение:

$ P(x_1\leq X<x_1+\triangle x)=F(x_1+\triangle x) - F(x_1)$

Пусть приращение $\triangle x$ будет бесконечно малым и стремиться к нулю. Тогда, учитывая, что X — непрерывная величина, а значит F(x) непрерывная функция, получим, что в точке $x_1$ разность значений $ F(x_1+\triangle x) - F(x_1)$ тоже будет устремлена к нулю. Значит, исходное выражение, используемое в доказательстве, можно переписать следующим образом:

$ P(X=x_1)=0$

Что и требовалось доказать. Используя данное свойство функции распределения мы также можем доказать и целый ряд других утверждений.

Доказательство

Докажем попарно верность всех неравенств. Сначала определим состоятельность утверждения $P(a \leq X<b) = P(a < X < b)$, для этого преобразуем его следующим образом:

$P(a \leq X<b) = P(X=a)+P(a< X<b) = P(a < X < b) $

Так как согласно второму следствию $P(X=a) = 0$, то получим 

$P(X=a)+P(a< X<b) = P(a < X < b)$

Аналогично доказывается верность и всех остальных неравенств.

Из второго и третьего следствия можно сделать определённый вывод, что не имеет смысла рассматривать вероятность, что непрерывная случайная величина примет какое-то конкретное значение, но вместо этого имеет смысл говорить, что она попадает в некоторый интервал значений, даже если этот интервал и будет являться бесконечно малым. И такой подход к анализу непрерывных случайных величин позволяет в полноценно решать любые практические задачи.

Одним из типичных подходов к данному вопросу является изготовление изделий на производстве. Здесь никогда не ставится вопрос о точном соответствии проектным размерам, а только определяется, чтобы результирующий размер физической детали не выходил за заданные границы. И вероятность именно этого события является предметом исследований.

Не верно было бы предполагать и то, что если вероятность события $X=x_1$ приравнивается нулю, то само событие не может произойти ни при каких условиях. Классическое определение вероятности в этом случае неприменимо, ведь речь идёт не именно о нуле, а лишь о величине бесконечно близкой к нему. B результате испытания непрерывная случайная величина в любом случае примет какое-либо значение и таким значением вполне может стать $x_1$. 

Доказательство

Допустим $x_1 \leq a $, тогда все x будут гарантированно лежать за нижним пределом заданного промежутка, то есть при любых условиях случайная величина окажется меньше любого значения из промежутка. Событие является невозможным, вероятность такого события равна нулю, а значит и функция распределения также F(x)=0.

Если верно $x \geq b $, то событие становится достоверным, так как случайная величина, принимая любое значение, окажется больше любой величины, входящей в заданный интервал. То есть вероятность достоверного события равна единице, значит и F(x)=1.

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 452 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Узнать стоимость