При практическом применении Теории вероятностей часто возникают ситуации, когда необходимо заранее спрогнозировать исход эксперимента. Без введения дополнительных критериев дать качественный прогноз невозможно, так как сам эксперимент будет зависеть от большого количества факторов, в том числе второстепенных. Чтобы обусловить эксперимент, дать ответы на все вопросы, касающиеся его проведения, ещё на рубеже 17-18 веков швейцарским учёным Бернулли была описана модель проведения испытания, результатами которого являются независимые события.

Допустим, мы осуществляем несколько идущих подряд экспериментов и в качестве исхода любого из них может случиться или не случиться некоторое событие Х. Считаем, что вероятность возникновения события Х остаётся константой и на неё не оказывают никакого влияния исходы предыдущих событий. Для этих условий можно определить схему Бернулли.

Определение 1

При проведении n экспериментов, любой из которых может закончится как с положительным результатом — событие Х произойдёт, вероятность исхода p, так и с отрицательным результатом — событие Х не произойдёт, вероятность исхода q=1-p. Задание формулируется как необходимость отыскать вероятность того, что будет получено m положительных результатов, при общем количестве опытов — n. Решение этой задачи вычисляется с помощью формулы Бернулли:

$P_n(m)=C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m} = \frac {n!}{m!(n-m)!} \cdot p^m \cdot q^{n-m} $

Представим решение задачи, поставленной в рамках рассмотрения схемы Бернулли. Необходимо вычислить вероятность наступления события Х m раз при осуществлении n экспериментов — $P_n(m)$. В серии экспериментов мы получим результаты $X_{a1}, X_{a2}, X_{a3} … X_{ai}, $, где каждый результат будет представлять собой событие X, либо обратное ему событие $\bar{X}$, при этом i=1,2,3… n. Согласно поставленному условию результат X появляется m раз, а результат $\bar{X}$ будет появляться n-m раз. Изначально условлено, что проводимые эксперименты независимы друг от друга, а значит для вероятности каждой из серий выбора m положительных результатов можно записать в виде:

$p^m\cdot q^{n-m}$

Каждая серия из m удачных результатов может получится различными способами, общее количество таких способов определяется все варианты выбора m любых элементов из общего множества n элементов, а значит их суммарное число будет не трудно определить, как сочетание из n компонентов по m: $C_n^m$.

Составить общее выражение нам поможет свойство сложения вероятностей. Таким образом, для варианта рассмотрения несовместных событий, чтобы найти вероятность появления результата Х в количестве m раз, при проведении n испытаний выводится формула Бернулли:

$P_n(m)=C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m} = \frac {n!}{m!(n-m)!} \cdot p^m \cdot q^{n-m} $

Данное выражение так же называется биноминальной формулой. Такое название связано с тем, что правая часть выражения является ничем иным, как (m+1) членом бинома Ньютона.

$(q+p)^n=C_n^0 \cdot q^{n} + C_n^1 \cdot p \cdot q^{n-1} + C_n^2 \cdot p^2 \cdot q^{n-2} +…… + C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} + … + C_n^n \cdot p^n $

Пример 1

На юношеских областных соревнованиях по биатлону, вероятность того, что стрелок промажет по мишени составляет 0,2. Требуется узнать вероятность события, заключающегося в том, что при 10 выстрелах ровно m окажется точными. При значениях m=0, 1, 10.

Решение

Условие задачи определяет, что мы вычисляем вероятность для попаданий по мишени, которые случаются с вероятностью p=1-q=1-0,2=0,8. Необходимо найти вероятность количества попаданий m при 10 выстрелах, тогда, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Решим задачу для m=0

$P_10(0)=C_10^0 \cdot p^0 \cdot q^10 = \frac {10!}{0!10!} \cdot 0,8^0 \cdot 0,2^{10}=10^{-7} $

Определим вероятность, что попадание будет только одно (m=1):

$P_10(1)=C_10^1 \cdot p^1 \cdot q^9 = \frac {10!}{1!9!} \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^9=4 \cdot 10^{-6} $

Вычисли вероятность того, что попадания будут зафиксированы при всех десяти выстрелах (m=10):

$P_10(10)=C_10^10 \cdot p^10 \cdot q^0 = \frac {10!}{10!0!} \cdot 0,8^(10) \cdot 0,2^0=0,1 $

В результате вычислений получено:

m=0 – ни одного попадания с вероятностью $10^{-7} $,

m=1 – только одно попадание с вероятностью $4 \cdot 10^{-6} $,

m=10 – попадания при всех десяти выстрелах с вероятностью $0,1 $.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Из ящика с равным количеством белых и черных шаров достают шар, фиксируют его цвет и помещают обратно. Это проделывают 6 раз. Достать чёрный и белый шар в каждом отдельном испытании можно с равной вероятностью. Вычислим вероятность события:

1) чёрный шар попадётся три раза;

2) чёрный шар попадётся один раз;

3) чёрный шар попадётся не менее двух раз.

Рассматриваем событие A, когда вытащен чёрный шар. Вероятность того, что это событие произойдёт равна p = 0,5. Противоположное событие $\bar A$, когда вытащен белый шар, происходит с вероятностью q=1−0,5=0,5. Требуется найти вероятность вытащить чёрный шар m раз. Запишем значения необходимых для вычисления параметров: n=6; p=0,5; q=0,5.

1) Найдём вероятность события заключающегося в том, что чёрный шар вытащили три раза, т.е. m=3.

$P_6(3)=C_6^3 \cdot p^3 \cdot q^3 = \frac {6!}{3!3!} \cdot 0,5^(3) \cdot 0,5^3=\frac {5}{16} $

2) Найдём вероятность события заключающегося в том, что чёрный шар вытащили один раз, т.е. m=1.

$P_6(1)=C_6^1 \cdot p^1 \cdot q^5 = \frac {6!}{1!5!} \cdot 0,5^(1) \cdot 0,5^5= \frac {3}{32} $

3) На последнем этапе вычислим вероятность того, что чёрный шар вытащат не менее двух раз. В данном случае «не менее» означает, что нас устроит любое m, кроме 1 и 0.

А значит требуется отыскать значение суммы $X = P_6(2) + P_6(3) + ... + P_6(6)$.

Заметим, что данная сумма также равна $(1 – P_6(0) – P_6(1))$. Таким образом достаточно из всех возможных вариантов удалить те, при которых чёрный шар достают один раз (m=1) или не достают ни разу (m = 0). Поскольку $P_6(1)$ нам уже известно, осталось найти $P_6(0)$:

$P_6(0)=C_6^0 \cdot p^0 \cdot q^6 = \frac {6!}{0!6!} \cdot 0,5^0 \cdot 0,5^{6}=\frac{1}{64}$,

$ X=1-P_6(0)-P_6(1)=1- \frac{1}{64} - \frac{3}{32} = \frac {57}{64}$.

Ответы: 1) $\frac {5}{16}$, 2) $\frac {3}{32} $, 3) $\frac {57}{64}$.