Содержание:

Исходя из теории вероятности, существуют такие эксперименты, которые могут теоретически повторяться бесконечное число раз. К примеру, возьмем любой эксперимент, который повторяется $n$ количество раз. Причем важно учесть, что результат всех последующих повторений абсолютно никаким образом не зависит от результата повторений, которые были перед этим. Такие повторяющиеся серии носят название – независимые испытания. 

Независимые испытания Бернулли – это частный случай данных испытаний. Их можно охарактеризовать двумя условиями:

  • Результат любого испытания – это один из двух исходов, которые могут быть. А именно «неудача» или «успех»
  • Вероятность того, что испытание будет «успешным» во всех последующих испытаниях не имеет никакой зависимости от предыдущих. Это является постоянной величиной.

Схема испытаний Бернулли также носит название биномиальная схема. Таким образом, все соответствующие вероятности – биномиальны. Это связано с применением биномиальных коэффициентов $c_n^m$.

Кто такой Якуб Бернулли

Якуб Бернулли был рожден в 1654 году. Его отец хотел, чтобы он учился на протестантского священника. Якуб окончил Базельский университет, в котором занимался изучением философии, богословие и языки. Он в идеале знал английский, французский, итальянский, немецкий, латинский и греческий язык. Якуб Бернулли с самого детства любил математику и занимался ее изучением втайне от отца. Продолжал читать проповеди и пополнять свои математические знания самостоятельно. 

В 1686 освободилось место на должность профессора математики в Базельском университете. Об успехах Якуба знали многие, поэтому он сразу его кандидатура сразу же была выдвинута Сенатом. Уже к 1687 он стал профессором математики. 

С 1677 года Якуб Бернулли стал вести специальные тетради. В них он записывал заметки по своим научным наблюдениям. Одним из первых записей были о теологии, которые были сделаны на основе сборника спорных теологических вопросов. 

Ключевое место в этом дневнике занимали решения задач. Даже самые первые записи говорят о том, что Бернулли имел очень большой интерес к прикладной математике. Из этих заметок можно сделать вывод, что Бернулли постепенно изучал методы Валлиса, Декарта, инфинитезимальные методы. Он занимался их развитием и совершенствованием. Решая задачи, он углублялся в исследования все больше и больше.

Зимой 1684 года Бернулли была проведена конференция в Базельском университете. Там он защищал разные тезисы. Весной 1690 года им была опубликована первая работа в «Асtа Eruditirum. Она была связана с исчислением бесконечно малых. В ней он подробно расписал решение задачи о парацентрической изохроне, которая была поставлена Лейбницем в 1687 году. Там требовалось найти кривую, по корой опущение материальной точки происходило бы в одинаковые временные промежутки на одинаковые высоты. 

Якуб Бернулли вывел дифференциальное уравнение кривой и проинтегрировал его.  Что интересно, это было первое употребление интеграла в печати. Бернулли указала, что из равенства двух выражений, которые связывают дифференциалы, следует равенство интегралов. 

Практическое применение и задачи

При произведении серии из $n$ независимых испытаний Бернулли, появление успеха в каждом из которых имеет вероятность $p$, то вероятность того, что появление «успешности» в испытаниях будет ровно $k$ раз, можно выразить при помощи формулы:

$p_{k}\left(k\right)=c_n^k\times p^{k}\times q^{n-k}$

Где $q=1-p$ – вероятность того, что произойдет «неудача». 

$c_n^k$ – число сочетаний $n$ элементов по $k$.

Данная формула и называется Формулой Бернулли.

Благодаря формуле Бернулли появилась возможность избавления от большого количества вычислений, а именно от сложения и умножения вероятностей при высоком числе испытаний.

В том случае, если число испытаний - $n$ –большое, то можно применять:

  • Локальные формулы Муавра-Лапласа.
  • Интегральную формулу Муавра-Лапласа.
  • Формулы Пуассона.

Рассмотрим, как правильно рассчитывать на конкретных примерах. 

Пример 1

Возьмем, для примера, семена растения, всхожесть которых составит 70%. Нам необходимо рассчитать вероятность того, что из 10 посаженных нами семечек дадут плоды: 8, не менее 8 и по крайней мере 8.

Здесь прибегнем к формуле Бернулли:

$p_{n}\left(k\right)=c_n^k\times p^{k}\times 1-p^{n-k}$

По нашему примеру $n$=10, $p$=0,7

Процесс решения:

Возьмем событие $A$ – из 10 семечек дадут плоды 8:

$P(A) = P_{10} (8) = C_10^8 \times 0.7^{8} \times 0.3^{2} =\frac{10!}{8!*2!} * 0.7^{8}*0.3^{2} = 0.2335$

Таким образом, пусть событие $B$ – взрастет, по крайней мере 8 (а именно – 8, 9 или 10)

$P(B)=P_{10}(8)+a+P^{10}(9)+P_10^10=0.2335+C_10^9*0.7^{10}*0.3^{0}=0.2335 + 10*0.7^{9}*0.3+0.7^{10}=0.3828$

Пусть событие $C$ – взойдет не менее 8 раз (то есть – 8,9,10…)

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!