Часто при рассмотрении случайной величины трудно выделить какие-то ключевые факторы воздействующие на вероятность её реализации. Также бывает, что все влияющие на её реализацию факторы можно считать имеющими равное значение. В таких случаях принято считать, что распределение случайной величины подчиняется нормальному закону и соответствует определённой формуле. Верность данного подхода, неоднократно была подтверждена экспериментальным путём. 

Определение 1

Распределение вероятностей для некоторой случайной величины непрерывного характера носит название нормального, если оно целиком может быть определено формулой:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{{(x-a)}^2}{2\sigma^2}} $

Выражение показывает, что данный закон распределения задаётся характеристиками a и $\sigma $. Однако, это не просто случайные переменные, а вполне конкретные параметры: а — матожидание, $\sigma ^2$ — дисперсия. 

Запишем для математического ожидания:

$M(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}xe^{-\frac{{(x-a)}^2}{2\sigma^2}} dx$

Для упрощения вычислений, произведём временную замену перемнных следующим образом:

$\frac{x-a}{\sigma}=t$

$\frac{dx}{\sigma}=dt$

при t определённом на участке:

$-\infty<t<\infty$

Подставив данные элементы получаем выражение в виде:

$\frac{1}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}(t\sigma+a)e^{-\frac{{t}^2}{2}} dx=\frac{1}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}t\sigma e^{-\frac{{t}^2}{2}} dt + \frac{a}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}} dt$

Так как интеграл от выражения может быть вычислен следующим образом:

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}} dt =\sqrt{2\pi}$

То перепишем изначальное выражение:

$\frac{\sigma}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}} d\left({\frac{{t}^2}{2}}\right) + \frac{a}{ \sqrt{2\pi}}\sqrt{2\pi}= \frac{\sigma}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}}|_{-A}^A + a$

Отдельно покажем вычисление интеграла, они проводятся следующим образом:

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}}d\left({\frac{{t}^2}{2}}\right)=\lim_{A \rightarrow \infty}\int_{-A}^{A} e^{-\frac{{t}^2}{2}}d\left({\frac{{t}^2}{2}}\right)=\lim_{A \rightarrow \infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}}|_{-A}^A=\lim_{A \rightarrow \infty}\left[e^{-\frac{{A}^2}{2}}-e^{-\frac{{A}^2}{2}}\right]=0$

В итоге получили, что математическое ожидание: 

$M(x)=\frac{\sigma}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty}e^{-\frac{{t}^2}{2}}|_{-A}^A + a=a$

Что и требовалось найти.

Проведём расчёт для дисперсии, чтобы доказать, что именно ей соответствует величина $b^2]\:

$D(x)=M(x-a)^2=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}(x-a)^2 \cdot e^{-\frac{{(x-a)}^2}{2\sigma^2}} dx$

Чтобы произвести вычисления, необходимо сделать замену переменных:

$\frac{x-a}{\sigma}=t$, а значит ${x-a}=t \cdot {\sigma}$

$\frac{dx}{\sigma}=dt$

при t определённом на участке:

$-\infty<t<\infty$

Подставляя в основное выражение получим формулу:

 $\frac{1}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}t^2 \sigma^2 e^{-\frac{{t}^2}{2}} dt=$

$\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}t^2 e^{-\frac{{t}^2}{2}} dt=$

$-\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}t e^{-\frac{{t}^2}{2}} d\left({\frac{{t}^2}{2}}\right)=$

$-\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}t  d\left(e^{-\frac{{t}^2}{2}}\right)$

Представим интеграл в виде предела, это позволит нам записать:

$-\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty} \int_{-A}^{A}t  d\left(e^{-\frac{{t}^2}{2}}\right)=-\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty}\left[t \cdot e^{-\frac{{t}^2}{2}}|_{-A}^A - \int_{-A}^{A}e^{-\frac{{t}^2}{2}}dt \right]=-\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty} \left[ 2A \cdot e^{-\frac{{A}^2}{2}}- \int_{-A}^{A}e^{-\frac{{t}^2}{2}}dt \right]$

Зная значение интеграла:

$\lim_{A \rightarrow \infty} \int_{-A}^{+A}e^{-\frac{{t}^2}{2}}dt = \sqrt{2\pi}$

Используем его в полученной ранее формуле. Также, пользуясь правилом Лопиталя для первого слагаемого, получаем:

$\frac{\sigma^2}{ \sqrt{2\pi}}\lim_{A \rightarrow \infty} \left[ 2A \cdot e^{-\frac{{A}^2}{2}}- \int_{-A}^{A}e^{-\frac{{t}^2}{2}}dt \right]= \frac{-\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\cdot (- \sqrt{2\pi})=\sigma^2$

То есть то, что и требовалось найти: $D(x)= \sigma^2 $

Свойства нормального распределения

Определение 2

Если параметры a и $\sigma$ ($\sigma$>0) взяты произвольно, то такой нормальный закон распределения носит название «общий». В случае когда a=0, а $\sigma$=1, то нормальный закон распределения называется основным.

Чтобы проанализировать вид функции плотности вероятности при нормальном распределении, определим её экстремум, для этого вычислим производную:

$f'(x)=\frac{-1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\cdot e^{\frac{(x-a)^2}{2\cdot \sigma^2}}\cdot \frac{2(x-a)}{2 \sigma^2}$

Очевидно, что f’(x)=0 при x=a, то есть в данной точке плотность вероятности принимает своё наибольшее или наименьшее значение. Исследование функции показывает, что f’(x)>0, если x<a, а также f’(x)<0 в случае когда x>a, значит найденный экстремум — это максимум. В точке x=a значение функции f(x) будет 

$f(a)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$

Также известно, что в случае нормального распределения прямая x=a — ось симметрии для f(x). Согласно определению плотности вероятности она является производной функции распределения и вычисляется для данной функции как интеграл по всей числовой прямой. Так как значение функции распределения, при стремлении случайной величины к плюс бесконечности, равняется единице, то можно утверждать, что и площадь под графиком функции плотности вероятности (при y>0) также равняется единице.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 460 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!