Чтобы определить такое понятие как математическое ожидание, представим себе некую случайную величину, которая имеет значения $ X_1, X_2 ... X_n$. Каждое из значений может приниматься с определённой вероятностью. То есть каждому конкретному значению, соответствует своя вероятность и в целом они составляют ряд $ P_1, P_2 ... P_n$

Определение 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины можно сложив числа, полученные умножением каждого значения величины на вероятность, соответствующую ей.

$M(X)= X_1\cdot P_1 + X_2\cdot P_2 + ... + X_n\cdot P_n$

Пример 1

Организован розыгрыш, в котором за каждый билет полагается приз. Всего есть 1000 билетов, призы в которых распределены следующим образом:

  • 50 рублей — 300 призов 
  • 75 рублей — 200 призов
  • 100 рублей — 200 призов
  • 200 рублей — 150 призов
  • 400 рублей — 100 призов
  • 600 рублей — 50 призов

Какова величина среднего приза, который может быть получен по одному билету?

Решение

Вычислим средний выигрыш, который можно получить по билету как среднее арифметическое от всех выигрышей.

$ \frac {50 \cdot 300 + 75 \cdot 200 + 100 \cdot 200 + 200 \cdot 150 + 400 \cdot 100 + 600 \cdot 50}{1000} = 150 $

Среднее арифметическое получается 150 рублей можно в среднем выиграть приобретя один билет. Интересно, что математически расчёт проводится практически точно так же, как вычисляется и математическое ожидание, ведь приведённое выше выражение можно представить в виде:

$ \frac { 50 \cdot 300}{1000} + \frac { 75 \cdot 200}{1000}  + \frac { 100 \cdot 200}{1000}  + \frac { 200 \cdot 150}{1000}  + \frac { 400 \cdot 100}{1000}  + \frac { 600 \cdot 50 }{1000}= 50 \cdot \frac { 300}{1000} + 75 \cdot \frac { 200}{1000}  + 100 \cdot \frac { 200}{1000}  + 200 \cdot \frac { 150}{1000}  + 400 \cdot \frac { 100}{1000}  + 600 \cdot \frac { 50 }{1000}  $

И каждый из элементов $\frac { 300}{1000}$, $ \frac { 200}{1000}$, $ \frac { 200}{1000}$, $ \frac { 150}{1000}$, $ \frac { 100}{1000}$, $ \frac { 50 }{1000} $ соответствует вероятности, получить тот или иной приз. Таким образом, математическое ожидание приза, как случайной величины, имеет смысл среднего, наиболее вероятного, выигрыша.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Владелец завода решил выпускать новую продукцию. Рыночная цена нового изделия составит 300 рублей. Из этой суммы он получит 150 рублей, 100 рублей получит магазин, 50 рублей получат рабочие, которые трудятся на заводе. При этом, так как изделие новое, то неизвестно точно, сколько экземпляров удастся продать за конечный промежуток времени, например месяц. Есть только прогноз, что с определённой вероятностью будет продано некое определённое количество изделий:

  • 500 штук будет продано с вероятностью 0,2, затраты на производство, не считая зарплаты рабочих, составят 100000;
  • 1000 штук будет продано с вероятностью 0,4, затраты 150000;
  • 2000 штук будет продано с вероятностью 0,25, затраты 200000;
  • 3000 штук будет продано с вероятностью 0,10, затраты 250000;
  • 4000 штук будет продано с вероятностью 0,05, затраты 300000;

Требуется вычислить прибыль, которую получит владелец завода.

Решение

Согласно условию «прибыль» является случайной величиной, так как она зависит от другой случайной величины — количества проданных изделий. Рассчитаем прибыль и математическое ожидание:

  • 500 штук, прибыль $500 \cdot 150 – 100 000=-25000$ вероятность 0,2;
  • 1000 штук, прибыль $1000 \cdot 150 – 150 000=0$ вероятность 0,4;
  • 2000 штук, прибыль $2000 \cdot 150 – 200 000=100 000$ вероятность 0,25;
  • 3000 штук прибыль $3000 \cdot 150 – 250 000=200 000$ вероятность 0,10;
  • 4000 штук, прибыль $4000 \cdot 150 – 300 000=300 000$ вероятность 0,05;

По полученным данным, рассчитаем математическое ожидание, согласно формуле из определения: 

$M(X)= -25000\cdot 0,2 + 0 \cdot 0,4 + 100 000 \cdot 0,25 + 200 000 \cdot 0,10 + 300 000 \cdot 0,05 = 55 000$ 

В результате получили, что математическое ожидание, которое характеризует среднюю ожидаемую прибыль в долгосрочной перспективе, составит 55 000 рублей.

Свойства математического ожидания

Свойство 1

Матожидание взятое от константы, то есть величины постоянной, будет равно самой этой же величине.

$E(C)=C$

Свойство 2

Если берётся матожидание от случайной величины умноженной на постоянную, то данную постоянную можно вынести за обозначение матожидания.

$E(CX)=C\dot E(X)$

Свойство 3

Матожидание от сложения или вычитания двух независимых случайных величин, можно представить как сложение или вычитание самих матожиданий от этих величин, взятых по отдельности.

$E(X\pm Y)=E(X) \pm E(Y)$

Свойство 4

Если берётся матожидание от двух случайных величин умноженных друг на друга, то его можно представить как умноженные друг на друга математические ожидания от данных величин взятые по отдельности.

$E(X\cdot Y)=E(X) \cdot E(Y)$

Свойство 5

Матожидание от суммы или разности случайной величины и константы, постоянной величины, можно представить в виде суммы или разности самого матожидания от случайной величины и этой же константы.

$E(X\pm С)=E(X) \pm С $

Пример 3

Имеется три ёмкости заполненные белыми и чёрными шарами. Вероятность достать чёрный шар из первой ёмкости (событие $X_1$) составляет $P_1=0,4$, из второй ёмкости (событие $X_2$) $P_2=0,3$, из третьей ёмкости (событие $X_2$) $P_3=0,6$. Требуется рассчитать матожидание события X, при котором из всех ёмкостей будут вынуты только чёрные шары.

Решение

Событие заключающееся в том, что из ёмкости вынут чёрный шар является случайной величиной, которая может принимать исключительно два значения 1, если вынут чёрный шар, и 0, если вынут шар другого цвета. Поэтому математические ожидания от выполнения событий $X_1, X_2, X_3$ составят величины равные вероятностям данных событий. То есть 

$M(X_1)=P_1=0,4$;

$M(X_2)=P_2=0,3$;

$M(X_3)=P_3=0,6$;

Событие состоящее в том, что из всех трёх ёмкостей вынуты только чёрные шары, тоже является случайной величиной и представляет собой сумму событий $X_1, X_2, X_3$:

$ X=X_1+ X_2+ X_3$

Значит можно записать:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)$

Согласно третьему свойству матожидания выражение примет вид:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)=M(X_1)+M( X_2)+ M(X_3)= 0,4+0,3+0,6=1,3$

Таким образом, математическое ожидание события X составляет 1,3.