Математическое ожидание дискретной случайной величины

Регулярно в театре проводятся спектакли, в зависимости от места расположения билеты имеют разную стоимость. Всего тысяча мест, а их стоимость определяется следующим образом:

    • 50 рублей — 300 мест;

    • 75 рублей — 200 мест;

    • 100 рублей — 200 мест;

    • 200 рублей — 150 мест;

    • 400 рублей — 100 мест;

    • 600 рублей — 50 мест;

Какова средняя стоимость одного театрального билета?

Решение

Средняя стоимость одного билета позволяет оценивать общую доходность, а также помогает рассчитать необходимые стоимости зрительных мест для получения равной выручки для разных залов. Вычислим среднюю цену для одного билета, как среднее арифметическое от всех цен на все места.

$ \frac {50 \cdot 300 + 75 \cdot 200 + 100 \cdot 200 + 200 \cdot 150 + 400 \cdot 100 + 600 \cdot 50}{1000} = 150 $

Среднее арифметическое получается 150 рублей. Именно такова средняя выручка с одного места в зрительном зале. Следует отметить, что для матожидания, математическое вычисление проводится фактически точно так же. Указанное выше выражение можно представить в другом виде:

$ \frac { 50 \cdot 300}{1000} + \frac { 75 \cdot 200}{1000}  + \frac { 100 \cdot 200}{1000}  + \frac { 200 \cdot 150}{1000}  + \frac { 400 \cdot 100}{1000}  + \frac { 600 \cdot 50 }{1000}= 50 \cdot \frac { 300}{1000} + 75 \cdot \frac { 200}{1000}  + 100 \cdot \frac { 200}{1000}  + 200 \cdot \frac { 150}{1000}  + 400 \cdot \frac { 100}{1000}  + 600 \cdot \frac { 50 }{1000}  $

Если рассматривать вопрос в рамках теории вероятности, то представим себе ситуацию, где театральные билеты положили в чёрный ящик и наудачу вытягивают один из них.  Тогда элементы $\frac { 300}{1000}$, $ \frac { 200}{1000}$, $ \frac { 200}{1000}$, $ \frac { 150}{1000}$, $ \frac { 100}{1000}$, $ \frac { 50 }{1000} $ соответствуют вероятности, получить тот или иной билет. Таким образом, математическое ожидание для случайной величины, являющейся дискретной, имеет смысл такого значения, которое удастся получить с наибольшей вероятностью, а оно вычисляется как среднее арифметическое.

На ферме осваивают новый вид растений. Рыночная цена при продаже одного килограмма готового продукта, произведённого из растения составит 300 рублей. Из этой суммы фермер получает 150 рублей, 100 рублей отходит посреднику, который продаёт готовый товар, а 50 рублей составляют зарплата сотрудников. При этом, так как продукция новая, то остаётся неизвестным, сколько килограмм удастся сбыть за ограниченное время, месяц. Только лишь отдел маркетинга магазина даёт прогноз, что с некоторой вероятностью будет реализовано  определённое количество килограмм продукции:

    • 500 килограмм будет реализовано с вероятностью 0,2, затраты на изготовление, не считая зарплаты сотрудников, составят 100 000;

    • 1000 килограмм будет реализовано с вероятностью 0,4, затраты 150000;

    • 2000 килограмм будет реализовано с вероятностью 0,25, затраты 200000;

    • 3000 килограмм будет реализовано с вероятностью 0,10, затраты 250000;

    • 4000 килограмм будет реализовано с вероятностью 0,05, затраты 300000;

Требуется рассчитать какой доход получит фермер.

Решение

В соответствии с исходными данными «прибыль» —это случайное значение, так как у неё имеется зависимость от количества проданных изделий, которое само по себе является случайной величиной. Вычислим сколько же в итоге составит прибыль и математическое ожидание:

    • 500 килограмм, доход $500 \cdot 150 – 100 000=-25000$ с вероятностью 0,2;

    • 1000 килограмм, доход $1000 \cdot 150 – 150 000=0$ с вероятностью 0,4;

    • 2000 килограмм, доход $2000 \cdot 150 – 200 000=100 000$ с вероятностью 0,25;

    • 3000 килограмм доход $3000 \cdot 150 – 250 000=200 000$ с вероятностью 0,10;

    • 4000 килограмм, доход $4000 \cdot 150 – 300 000=300 000$ с вероятностью 0,05;

По полученным значениям мы в состоянии определить математическое ожидание. Для этого используем формулу, указанную в определении: 

$M(X)= -25000\cdot 0,2 + 0 \cdot 0,4 + 100 000 \cdot 0,25 + 200 000 \cdot 0,10 + 300 000 \cdot 0,05 = 55 000$ 

Результатом наших вычислений стало то, что матожидание, характеризующее средневероятный доход в долгосрочной перспективе, составляет сумму в 55 000 рублей.

При игре в дартс в одном из городов Ирландии придумали соревнование, на котором необходимо кидать дротики в три мишени, расположенные на разном расстоянии друг от игрока. При этом вероятность набрать максимальное количество очков на первой мишени (событие $X_1$) составляет $P_1=0,4$, на второй мишени (событие $X_2$) $P_2=0,3$, из третьей мишени (событие $X_2$) $P_3=0,6$. Требуется рассчитать матожидание события X, при котором на всех мишенях будут набраны максимальные очки.

Решение

Событие заключающееся в том, что игрок набирает максимальное количество очков на мишени является случайной величиной, которая может принимать исключительно два значения 1, если данное количество набрано и 0, если не набрано. Поэтому математические ожидания от выполнения событий $X_1, X_2, X_3$ составят величины равные вероятностям данных событий. То есть 

$M(X_1)=P_1=0,4$;

$M(X_2)=P_2=0,3$;

$M(X_3)=P_3=0,6$;

Событие состоящее в том, что на всех трёх мишенях набраны максимальные очки, тоже является случайной величиной и представляет собой сумму событий $X_1, X_2, X_3$:

$ X=X_1+ X_2+ X_3$

Значит можно записать:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)$

Согласно третьему свойству матожидания выражение примет вид:

$ M(X)=M(X_1+ X_2+ X_3)=M(X_1)+M( X_2)+ M(X_3)= 0,4+0,3+0,6=1,3$

Таким образом, математическое ожидание события X составляет 1,3.