Математическим ожиданием называется понятие в теории вероятностей, которое равняется среднему значению случайной величины. Оно обозначает среднее значение, которое взвешивается, исходя из вероятностей потенциальных значений. Если речь идёт о случайной величине, являющейся непрерывной, то в таком случае взвешивание происходит по распределительной плотности.

Простыми словами математическим ожиданием можно назвать результат, который ожидается от какого-то определенного действия.

К примеру, зачастую эта величина используется при прогнозировании стоимости инвестиций в определенный промежуток времени на будущее. Если математическое ожидание будет правильно рассчитано перед тем, как инвестировать сумму в какое-либо дело, появляется возможность проигрывания самого успешного сценария, способного дать хорошую прибыль и результат.

У данной случайной величины есть два типа:

Дискретный, при котором количество возможных значений Х – числимое конечное или бесконечное множество точек. Например, количество тех устройств, которые могут оказаться с дефектом на производстве
Непрерывный, при котором Х способен принять абсолютно разные значения с заданном диапазоне

Вектор с компонентами, равными математическому ожиданию компонентам случайного вектора, равны математическому ожиданию случайного вектора.

Данная величина обозначается как $E(X^{2})$ или в русской литературе как $M(X)$. В статистике нередко применяется обозначение $$.

Случайная величина, которая принимает исключительно значение 0 или 1, будет иметь математическое ожидание, равное $p$, где $p$ – вероятность «единицы». Сумма данных случайных величин будет равняться $n\times p$, где $n$ – их число – это математическое ожидание суммы. Важно учесть, что для расчета вероятностей появления определенного числа единиц будет рассчитываться при помощи биномиального распределения. Именно поэтому зачастую в литературе наиболее распространенным показателей биномиального распределения будет $np$.

У некоторых случайных величин, например у таких, которые имеют распределение Коши, нет случайных величин.

В практических вычислениях оценка математическому ожиданию дается в качестве среднего арифметического отмечаемых значений случайных величин. Доказанным фактом является то, что если будут соблюдаться определенные слабые условия (при случайной выборке наблюдения будут автономными), выборочное среднее будет иметь стремление к подлинному значению математического ожидания в том случае, если будет стремление к объёму выборки (число измерений и прочее) к бесконечному числу.

Определение при помощи плотности распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величине, которая распределяется плотностью $F(\chi)$ вычисляется по формуле:

$E\left[\chi\right]=\int_{\infty}^{-\infty} xf_{X}(x), x\ni R$

Определение при помощи функции распределения случайной величины

Возьмем $F_{\chi(x)}$ – является функцией распределения случайной величины, то величина математического ожидания будет задана интегралом Лебега-Стилтьеса по формуле:

$E(\chi)=\int_{-\infty}^{\infty} xdF_{x}(X), x\ni R$.

Интеграл Лебега

К примеру, мы имеем определенное заданное вероятностное пространство $\eta\upsilon\rho$, а также определенную случайную величину $\chi$. То есть, если отталкиваться от определений, то измеримая функция $\chi\div\nu=\rho$. При существовании интеграла Лебега $\chi$, в пространстве $\upsilon$, он будет называться математическим ожиданием, или усредненным значением, и иметь обозначение $M(\chi)$ или же $E(\chi)$.

Следовательно, расчет будет производиться по формуле:

$E(\chi)=\upsilon\zeta x (\omega)P(d\omega)$

Математическое ожидание целочисленной величины

Возьмем $\chi$ в качестве положительной целочисленной случайной величины (частного случая дискретной), которая имеет вероятностное распределение $P(\chi=i)=p_{i}, i=0.1,..., \sum_a^b p_{i} = 1$, то число математического ожидания будет выражаться при помощи производящей функции последовательности $\left\{p_{i}\right\}$.

Формула будет такой:

$P_{s}= \sum_0^\infty p_{k}S^{k}$

Основные свойства математического ожидания

У математического ожидания есть основные неизменные свойства. К ним относятся:

Математическое ожидание постоянной равняется числу ее самой: $M(c)=c$$
При умножении случайной величины $X$ на $c$, среднее значение тоже должно умножаться на эту константу $c(c): М (cX) = cМ (X)$;
Если к случайной величине добавить или вычесть $X$, то произойдет такое же сложение или вычитание с константой, с ее средним значением $М (X ± c) = М (X) ± c$;
Если $X$ и $Y $ являются двумя независимыми случайными величинами, то: $М(XY)=М(X)×М(Y)$;
Математическое ожидание при сложении или вычитании двух случайных величин будет ровняться сумме или вычитанию их математических ожиданий, например, возьмем $X$ и $Y$ в качестве двух случайных величин, тогда $М (X ± Y) = М (X) ± М (Y)$.