Если пользоваться схемой Бернулли, то можно проводить вычисления, получая значения вероятностей для самых разнообразных случаев. Однако, если количество проводимых элементарных экспериментов становится велико и число n принимает очень большие значения, то применять формулу Бернулли становится неудобно. Вычисления с её помощью получаются громоздкие и отнимают много времени. Чтобы упростить сам процесс расчётов французский математик Лаплас вывел формулу, которая позволяет приближённо рассчитывать вероятность $P_n(m)$, в случае, если n принимает большие значения.

Теорема 1

Если обозначить p=P(X) вероятность того, что будет выполнено событие X, то вероятность реализации в рамках схемы Бернулли условия, что X будет происходить в количестве m случаев из общего числа экспериментов n, может быть выражена согласно формуле Лапласа:

 $ P_n(m) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot n \cdot p \cdot q}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$, где $q=1-p$,   $t=\frac{m-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$

Это приближённое значение, но его точность является достаточной для большинства случаев практического применения.

Следует отметить особенность формулы Лапласа, которая заключается в том, что чем больше совокупное число экспериментов, тем ближе значение вероятности к получаемому по формуле Бернулли.

Пример 1

В ящике равное количество белых и чёрных шаров. Во время эксперимента из ящика 400 раз достают шар. Требуется определить вероятность события, при котором чёрный шар достанут:

1) 200 раз;

2) 225 раз.

Решение:

Для облегчения вычислений, заранее выпишем известные параметры:

Суммарное количество независимых экспериментов: n=400.

Вероятность достать чёрный шар в каждом отдельном эксперименте p=0,5.

Вероятность достать белый шар в каждом конкретном эксперименте q=1-p=0,5.

1) Определим вероятность того, что в при проведении 400 элементарных экспериментов чёрный шар удастся вытащить ровно 200 раз. Число испытаний большое, поэтому это именно тот случай, когда удобно применять локальную теорему Лапласа.

$ P_n(m) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot n \cdot p \cdot q}}\cdot e^{-\frac{t^2}{2}}$, где $q=1-p$,   $t=\frac{m-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$

Сначала определим требуемое значение параметра:

$t=\frac{m-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}} =\frac{200-400 \cdot 0,5}{\sqrt{400 \cdot 0,5 \cdot 0,5}} = \frac{200-200}{sqrt{100}=\frac {0}{10}=0} $

Далее вычисляем необходимое значение другого множителя. Это не трудно сделать несколькими разными способами, но в нашем случае лучше всего воспользоваться прямыми вычислениями:

$\frac{1}{sqrt{2\cdot \pi}}\cdot e^{-\frac{0^2}{2}}=\frac{1}{sqrt{2\cdot \pi}}\cdot e^0= \frac{1}{sqrt{2\cdot \pi}} \approx 0,3989 $$

Округлим получившееся значение до 4 знаков после запятой.

На последнем этапе вычисления подставим полученные данные в первоначальную формулу:

$P_400(200) \approx \frac{1}{10} \cdot 0,3989=0,1 \cdot 0,3989 = 0,03989$

Таким образом, 0,03889 – это и есть вероятность ровно 200 раз вытащить чёрный шар при 400 элементарных экспериментах

Полученный результат оказывается очень близок к тому значению, которое получается с помощью формулы Бернулли:

$P_n(m)=C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m} = \frac {n!}{m!(n-m)!} \cdot p^m \cdot q^{n-m} = \frac {400!}{200!(400-200)!} \cdot 0,5^200 \cdot 0,5^{400-200}= 0,0398693019637926 $

Окончательный ответ для части (1): $P_400(200) \approx 0,03989$

2) Определи вероятность того, что в серии из 400 элементарных экспериментов чёрный шар будет вытащен ровно 225  раз. Используем локальную теорему Лапласа:

$t=\frac{m-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}} =\frac{225-200}{10} = \frac{25}{10}=2,5 $

$\frac{1}{sqrt{2\cdot \pi}}\cdot e^{-\frac{2,5^2}{2}}= 0,0175$$

$P_400(225) \approx \frac{1}{10} \cdot 0,0175= 0,00175$ – искомая вероятность.

Окончательный ответ для части (б) $P_400(225) \approx 0,00175$

Следует отметить, что конкретные значения вероятностей получаются очень небольшими, создаётся впечатление, что вероятность событий, даже близких по значению к матожиданию, будет мала, а сами события близкими к невозможным. Однако, это та ситуация, в которой говорилось в предыдущих разделах — для случайной величины возможность принять какое-либо конкретное, локальное значение имеет низкую вероятность. Поэтому, например, для непрерывной случайной величины всегда рассматривается диапазон значений и именно попадание в такой интервал близкий к матожиданию и будет иметь наибольшую вероятность.

Это можно хорошо пояснить на примере с монетами: при серии, состоящей из четырёхсот экспериментальных бросков, решка в теории должна выпасть от 0 до 400 раз. Таким образом, мы получаем группу событий, называемую полной:

$P_400(0)+P_400(1)+P_400(2)+P_400(3)+…+P_400(199)+P_400(200)+P_400(201)+…+P_400(399)+P_400(400)=1$

При этом из четырёх сотен слагаемых большинство будут иметь значения близкие к нулю, бесконечно малые и не внесут значимый вклад в общую сумму. Например, $P400(250)\approx 0,0000001$/. Вероятность этого события уже очень мала, а  $P400(100)$ или $P400(300)$ так и вовсе не незначительны. Однако, отдельные локальные результаты не показывают общей картины. А событие, заключающееся в выпадении орла от 210 до 250 раз, уже будет иметь гораздо большую вероятность.

Для вычисления значения вероятности попадания в интервал, считать по теореме сложения вероятностей будет слишком трудоёмко, так как на интервале находится большое количество значений.

Поэтому для определения вероятностей для интервалов, локальная теорема Лапласа уже не так хорошо подходит, для это следует использовать теоретические выкладки из другого раздела. Такой расчёт делается с помощью интегрирования.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!