Ключевое понятие теории вероятностей – вероятность. Как и для любой фундаментальной идеи, для вероятности существует несколько подходов к её формулированию. Классическое определение основано на классической схеме испытаний. Ключевой её идеей является то, что любое событие состоит из элементарных результатов, при наступлении любого из которых и само событие считается наступившим.

Определение 1

Несовместные события — это такие события, появление любого из которых автоматически исключает появление других

Определение 2

Равновозможные события — это такие события, вероятность наступления которых одинакова.

Определение 3

Полная группа событий — это набор несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Формулируя классическое определение вероятности, считаем, что любой эксперимент имеет конечное количество элементарных результатов: $W_1$, $W_2$, $W_3$ … $W_n$. При этом $W_1+W_2+W_3+ … +W_n = U$, где U — достоверное событие. Отметим, что $W_i$, где i=1..n, это такие равновозможные элементарные события, которые учитывают все возможные исходы эксперимента, а значит сумма их вероятностей равна единице. Отсюда также можно сделать вывод, что для вероятностей всего набора будет верна запись:

\[P(W_1)=P(W_2)=P(W_3)= … =P(W_n)=\frac{1}{n}\], где n — общее количество элементарных результатов.

Определение 4

Таким образом, в классическом варианте вероятность события определяется как соотношение количества элементарных результатов вызывающих данное событие ко всему числу элементарных результатов.

\[P=\frac{m}{n}\]

Из определения вероятности мы можем вывести набор свойств характерный для данного понятия.

Свойство 1

Вероятность достоверного события равна единице. 

Мы уже упоминали данное свойство, рассказывая о классическом эксперименте. Теперь поясним подробнее, а также приведём более наглядное доказательство. Повторим, что достоверным называется событие, которое реализуется при любом элементарном результате эксперимента, а значит, если всего будет n результатов, то достоверному событию соответствуют все n результатов. И вероятность можно записать как:

\[P=\frac{m}{n}=\frac{n}{n}=1\]

Свойство 2

Для невозможного события, его вероятность будет равняться нулю

Если событие является невозможным, то число элементарных результатов, соответствующих ему будет равно нулю, поэтмоу запишем:

\[P=\frac{m}{n}=\frac{0}{n}=0\]

Свойство 3

Для любого случайного события его вероятность будет являться числом? заключённым в промежутке между 0 и 1.

Так как общее количество результатов эксперимента — это n. А некоторое рассматриваемое случайное событие не является ни достоверным, ни невозможным, а значит число элементарных результатов соответствующих ему будет 0<m<n. Из чего следует: 

\[P=\frac{m}{n}<1\]

Пример 1

Рассмотрим случай с бросанием монетки. Допустим её бросают дважды. Теперь рассчитаем вероятность для следующих событий. Событие А — «орёл» выпадает хотя бы один раз. Событие В —дважды выпадает «орёл».

Определим элементарные результаты, которые могут наступить с равной вероятностью, то есть равновозможные. Такими будут: 

  • Выпадение «орла» дважды — ОО.
  • Выпадение в первый раз «орла», а во второй раз «решки» — ОР.
  • Выпадение первый раз «решки», а второй раз «орла» — РО.
  • Оба раза выпадение «решки» — РР.

Очевидно, что общее количество искомых равновероятных событий m=4. Чтобы наступило событие А, необходима реализация любого из элементарных результатов: ОО, ОР, РО. Тогда очевидно, что количество результатов соответствующих событию А будет \[m_A\]=3. Тогда нетрудно вычислить и вероятность искомого события:

\[P(A)=\frac{m_A}{m}=\frac{3}{4}=0,75\]

В отличии от события А, событию В будет соответствовать только один элементарный результат ОО, а значит \[m_B\]=1. Отсюда можно вычислить значение вероятности осуществления события В:

\[P(B)=\frac{m_B}{m}=\frac{1}{4}=0,25\]

Таким образом, получаем для искомых событий значения вероятностей: P(A)=0,75 и P(B)=0,25.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Разберём случай бросания шестигранной игральной кости. Один её бросок имеет шесть равновероятных результатов. При двух бросках таких результатов станет 36. Вычислим вероятность события А, которое наступает, если сложение очков, полученных в каждом из бросков, даёт в сумме 6. Также определим вероятность наступления события В, которое заключается в том, что ни при первом, ни при втором броске не будет выкинуто число 5.

Подсчитаем количество равновероятных результатов, которые приведут к выполнению условий наступления события А. При двух бросках элементарный результат представляет собой пару чисел, обозначим их y и z. Каждая из переменных является дискретной величиной и принимает целочисленные значения от 1 до 6. Всего таких пар, как было заявлено выше, будет 36, то есть m=36.

Наступлению события А соответствуют такие элементарные результаты, как: (y=1, z=5); (y=2, z=4); (y=3, z=3); (y=4, z=2); (y=5, z=1).

Суммарное количество элементарных результатов события А составляет \[m_A\]=5. Определим вероятность:

\[P(A)=\frac{m_A}{m}=\frac{5}{36}\simeq 0,139\]

Рассматривая событие В, для начала проще определить количество элементарных результатов, при которых оно не будет выполняться. В не будет выполнено при следующих исходах: 

  • Если 5 выпадет при первом броске, а при втором выпадет любое другое число, кроме пятёрки: (y=5, z=1); (y=5, z=2); (y=5, z=3); (y=5, z=4); (y=5, z=6).
  • Если 5 выпадет при втором броске, а при первом будет любое другое число, кроме пятёрки: (y=1, z=5); (y=2, z=5); (y=3, z=5); (y=4, z=5); (y=6, z=5).

  • Если и при первом и при втором броске выпадает пятёрка: (y=5, z=5).

Всего элементарных результатов, неблагоприятствующих В, будет 11, а значит благоприятствующих \[m_B\]=36-11=25. Тогда получаем следующее выражение для вероятности события В:

\[P(B)=\frac{m_B}{m}=\frac{25}{36}\simeq 0,694\]

В итоге, для искомых событий вычисленные вероятности: P(A)=0,139 и P(B)=0,694.