Теорема Лапласа — это развитие идей, которые сформулировал Бернулли, создав универсальную схему для проведения испытаний. Он сформировал такой набор критериев, выполняя которые, практически любую вероятностную ситуацию можно свести к схеме Бернулли. А затем воспользоваться формулой Бернулли для вычисления вероятности события.

Однако, сама формула, хоть и является универсальной, в некоторых случаях оказывается слишком сложной для применения. Поэтому, позже, французский математик Лаплас нашёл возможность упрощённого вычисления вероятности события, в эксперименте по схеме Бернулли, со степенью точности повышающейся по мере увеличения количества элементарных экспериментов. Так была создана локальная, а затем интегральная теорема Лапласа.

Если в локальной теореме речь идёт о дискретных значения случайных величин и она предназначена для поиска вероятностей при которых параметр случайного события принимает конкретное значение, то в интегральной теореме Лапласа речь идёт о попадании значения в какой-либо заранее заданный интервал.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Проходит n элементарных экспериментов, вероятность положительного результата одного элементарного эксперимента составляет 0<p<1. Вероятность отрицательного результата составит q=1-p. Тогда вероятность события заключающегося в том, что количество положительных результатов m попадёт в интервал $(k_1,k_2)$, приближённо, с высокой степенью точности, вычисляется согласно следующей формуле:

$P_n(k_2<m<k_1)\approx Ф(x_1)-Ф(x_2)$, где

$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}e^{\frac{-t^2}{2}}dt$ — функция Лапласа

$x_1=\frac{k_1-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$

$x_2=\frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$

Практическое применение теоремы Лапласа

Когда рассматривается вероятность появления какого-то конкретного события, то сложностей не возникает и для использования хорошо подходит локальная теорема Лапласа. Если же необходимо определить вероятность возникновения большого количества событий, то часто удобно говорить о попадании значения в заданный интервал. Например, если вероятность того, что изделие будет бракованное составляет 15% и требуется вычислить вероятность, что для партии в 10000 единиц продукции бракованными окажутся 900 единиц. Такую задачу не сложно решить с помощью локальной теоремы Лапласа. Если же есть необходимость вычислить вероятность, что бракованных изделий будет, допустим, от 950 до 1150, то по этой теореме придётся высчитывать вероятности для двух сотен значений, что очень трудоёмко. Вот в такой ситуации и помогает интегральная теорема Лапласа. Она позволяет значительно упростить расчёты, сводя вычисления к использованию одной формулы.

Пример 1

Известно, что в среднем 5% офисных работников носят портфели. Остальные пользуются рюкзаками или какими-либо другими видами сумок. Требуется вычислить вероятность события, заключающегося в том, что среди 200 офисных работников, окажется не менее 10% с портфелями.

Решение:

Запишем теорему Лапласа:

$P_n(k_2<m<k_1)\approx Ф(\frac{k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}})-Ф(\frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}})$, где

$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x}e^{\frac{-t^2}{2}}dt$

Выпишем параметры известные из условия:

Офисных работников 200 человек, то есть n=200.

Вероятность, что какой-либо конкретный работник носит портфель, составляет p=0,05.

Вероятность того, что работник не носит портфель: q=1-p=1-0,05=0,95.

Вычислим $ \sqrt{n \cdot p \cdot q} $:

$ \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{200 \cdot 0,05 \cdot 0,95} = \sqrt{9,5} \approx 3,08 $.

Дополнительно вычислим $ n \cdot p$:

$ n \cdot p = 200 \cdot 0,05 =10$.

Подставим вычисленные значения в формулу:

$P_n(k_1<m<k_2)\approx Ф(\frac{200-10} {3,08})-Ф(\frac{20-10} {3,08})= Ф(61,7)-Ф(3,25)$, где

Здесь следует пояснить, что в условии сказано – носящих портфель не менее 10%, значит более 20 человек придут с портфелями. Искомый интервал от 20 до 200 и $k_1=200$, $k_2=20$.

Функции Лапласа можно определить с помощью специальной таблицы, либо приближённо вычислить интеграл:

$Ф(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{x} e^{\frac{-t^2}{2}} dt$

Следует отметить особенность функции $e^{\frac{-t^2}{2}}$. При больших значениях аргумента (в данном случае t) величина будет очень небольшим числом, поэтому при увеличение x значение функции вырастет совсем немного. При вычислении функции Лапласа для x>6 значение функции принимает приближённо равным 0,5. Тогда решение примет вид:

$P_n(k_1<m<k_2)\approx Ф(61,7)-Ф(3,25) = 0,5-0,49942=0,00058=5,8\cdot 10^{-4}$.

Получили, что искомая вероятность будет очень мала, что хорошо согласуется с предварительной оценкой условия.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

На соревнованиях по исторической реконструкции, стрелки из лука соревнуются в меткости. Они много тренировались, поэтому вероятность промаха по мишени составляет всего 0,1. Определить вероятность того, что из 1000 выстрелов будет 890 попаданий в мишень.

Решение:

Исходя из условия вычисляем:

Максимальное число выстрелов n=1000.

Вероятность, что какой-либо конкретный работник носит портфель, составляет q=0,1.

Вероятность того, что работник не носит портфель: p=1-q=1-0,1=0,9.

Границы интервала:

$k_1=1000$

$k_2=890$

Вычисления проводим по формуле:

$P_n(890<m<1000)\approx Ф(x_2)-Ф(x_1)$,

$x_1=\frac{k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}}= \frac{1000-1000\cdot 0,9 } {\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot0,9} }=10,53$

$x_2= \frac{k_2-n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}} = \frac{890-1000\cdot 0,9 }{\sqrt{1000 \cdot 0,1 \cdot0,9}}=-1,05$

Получаем:

$P_n(890<m<1000)\approx Ф(x_2)-Ф(x_1)= Ф(10,53)-Ф(-1,53)=0,5+0,353=0,853$

Значения функции Лапласа находим по соответствующей таблице.

Окончательный ответ: вероятность 890 удачных выстрелов из 1000 составляет 0,853.