Теорема, которая будет описываться – это дальнейшее развитие схемы Бернулли. Она дает возможность работы с диапазонами: определять вероятность того, что количество успехов будет происходить в указанном отрезке. 

Теорема

$Pn(k1,k2) ≈ Φ(x2) – Φ(x1)$, где $Φ(x)=\jmath\phi(y)dy=\frac{\sqrt{2\pi}}{1}\\zetae^{-y2}dy$ – функция Лапласа. 

Для чего нужна данная теорема? Например, мы имеем 1000 изделий, о которых есть информация, что в среднем 10% из них – бракованные. Но, это не значит, что из всей партии будет 100 бракованных товаров. Вероятнее всего, их будет 102 или 98, но точно не 100. Легко рассчитать вероятность того, что их будет ровно 100 при помощи теоремы Лапласа. Тогда какова же будет вероятность того, что брака будет от 95 до 105? Считать такие примеры можно легко при помощи данной теоремы. Разберем подробнее саму формулу.

Вероятность того, что при $n$ испытаниях число успешных будет в пределах от $K1$ до $K2$ и будет выражаться следующей формулой:

$P_{n}(K_{1};K_{2})\approx F(\frac{{K_{2} - np}}{\sqrt{npq}}) - F(\frac{{K_{1} - np}}{\sqrt{npq}})$

Здесь $n$ – число испытаний, $p$ – вероятность успеха, $q$ – вероятность провала. 

Отметим, что вероятность провала можно вычислить при помощи очень простой формулы - $q=1-p$.

Рассмотрим на примере конкретных задач. Начнем с самой простой.

Пример 1

Известно, что примерно около пяти процентов учеников носят очки. Какова будет вероятность того, что из 200 учеников, которые находятся в зале, окажется менее 10%, носящих очки?

В первую очередь вспомним еще раз саму теорему:

$P_{n}(K_{1};K_{2})\approx F(\frac{{K_{2} - np}}{\sqrt{npq}}) - F(\frac{{K_{1} - np}}{\sqrt{npq}})$

При этом важно запомнить еще одну вычислительную формулу:

$F(x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\jmath e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt$

Собственно, благодаря наличию данного интеграла, который присутствует в функции, сама теорема и носит название интегральной. 

При первой взгляде на данную теорему может показаться, что из-за множества корней и конструкций сделать вычисления будет очень сложно. Однако, это не так и вы моете сами в этом убедиться. 

Первым делом необходимо выписать все значения:

Всего учеников - $n=200$

Вероятность того, что мы встретим ученика, носящего очки - $p=0.5$

Вероятность того, что ученики носят очки – 1-0,5=0,95

Затем мы можем вычислить:

$\sqrt{npq}$

Конечно же, данное вычисление необходимо выполнить при помощи калькулятора.

Плюс ко всему в формуле, в интегральной теореме Лапласа есть выражение – произведение числа испытаний на вероятность успеха:

$np$

То есть вычисление с учетом всех фактов будет следующим - $np=200*0,5=10$, $P_{n}(K1;K2)\approx F(\frac{200-10}{3.08}-F(\frac{20-10}{3.08}=F(61.07)-F(3.25)$.

Здесь сразу же мы можем столкнуться с первой проблемой. Смотря на таблицу значений, мы можем увидеть, что значение 3,25 здесь есть. Но вот чисел, которые будут больше 60, мы вообще не наблюдаем. 

Для решения этого вопроса нам пригодится исходная формула Лапласса: $P_{n}(K_{1};K_{2})\approx F(\frac{{K_{2} - np}}{\sqrt{npq}}) - F(\frac{{K_{1} - np}}{\sqrt{npq}})$

Когда будут большие «иксы» $e^{-\frac{t^{2}}{2}}$ ,будет крайне низким числом. То есть $x$ дает совсем маленькую вероятность, которая близится к нулю. Поэтому для каждого «икса», начиная от шести, примерно будет считаться, что значение функции Лапласа будет равняться 0,5. 

Итак, продолжаем вычислительный процесс:

$P_{n}(K1;K2)\approx0.5-0.49942=0.00058=5.8*10^{-4}$

Для закрепления рассмотрим еще одну задачу.

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

В жилом доме имеется nn ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет между $m1m1$ и $m2m2$. Найти наивероятнейшее число включенных ламп среди $nn$ и его соответствующую вероятность.

$n=6400,m1=3120,m2=3200n=6400,m1=3120,m2=3200.$

Используем теорему:

\[Pn(m1,m2)=Φ(m2 npnpq √) Φ(m1 npnpq √),Pn(m1,m2)=Φ(m2 npnpq)−Φ(m1 npnpq)\],

где $n=6400,p=0,5,q=1−p=0,5,m1=3120,m2=3200n=6400,p=0,5,q=1−p=0,5,m1=3120,m2=3200$, ΦΦ - функция Лапласа (смотреть в таблице)

\[P6400(3120,3200)=Φ(3200−6400⋅0,56400⋅0,5⋅0,5√)−Φ(3120−6400⋅0,56400⋅0,5⋅0,5√)= =Φ(0)−Φ(−2)=0+Φ(2)=0,4772.\]

Найдем самое вероятное m0m0 включенных ламп среди nn из неравенства:

$np−q≤m0≤np+p,

6400⋅0,5−0,5≤m0≤6400⋅0,5+0,5,

3199,5≤m0≤3200,5$

Далее подставим наши значения:

$P6400(3200)=16400⋅0,5⋅0,5√φ(3200−6400⋅0,56400⋅0,5⋅0,5√)=0,025⋅φ(0)=0,025⋅0,3989=0,00998$.

Какие нюансы учесть?

Как можно заметить, никаких сверхестественных манипуляций тут нет. Все употребление интегральной теоремы Муавра-Лапласа будет сведено к следующему:

  1. Необходимость аккуратно выписать все представленные значения, а именно: число испытаний, вероятность и «единицу», «минус» вероятность.
  2. Далее считаем все корни и величины.
  3. Смотрим на таблицу и ищем значение функции во всех точках, которые были нами получены.

Конечно же, сразу учтем, что нами была рассмотрена самая простейшая задача. Есть множество более сложных. Отметим, что самые сложные типы заданий на применение вышеописанной теоремы состоят в том, что общая вероятность, которая обычно рассчитывается по формуле, нам известна, а необходимо найти или $K1$, или же $K2$. Такие задачи очень часто встречаются на исследованиях, где есть необходимость найти какую-либо статистическую величину. 

Отметим самые основные моменты, которые нужно будет учесть.

Теорема на первый взгляд кажется крайне сложной, но, немного разобравшись можно сделать вывод, что это не так. В решении задач помогут:

  • Знания теоремы и самих формул с обеих сторон.
  • Умение грамотно и правильно высчитывать корни и элементы, являющиеся математическим ожиданием.