Кроме дискретных, существуют также непрерывные случайные величины. Суть этого понятия заключена в названии. Непрерывной считается такая величина, которая может становиться любым числом находящееся в промежутке, где величина и была определена. Отличие от дискретной  — её не удастся задать как список принимаемых ею значений и сопоставленных им вероятностей. Непрерывная величина — совокупность всех точек заданного множества — составляет «сплошное» множество. Поэтому к ней совершенно неприменим закон распределения. 

Пример 1

Непрерывные случайные величины встречаются во всех сферах жизни человека. Их легко обнаружить в самых разных физических явлениях. Так как большинство процессов в материальном мире являются непрерывными, то и их изменяемые параметры часто тоже являются непрерывными величинами. К таким можно отнести температуру воздуха измеряемую, например, с точностью до десятых долей каждую секунду. К ним можно отнести изменяющиеся размеры заготовки, которую фрезеровщик обтачивает, чтобы сделать из неё деталь. Сюда же можно отнести рост или вес человека, которые непрерывно изменяются с возрастом. Дальность полёта ядра, метаемого спортсменом, если она измеряется в самом процессе полёта.

Чтобы работать с непрерывными случайными величинами нужны другие инструменты. Одним из таких инструментов в теории вероятностей стало понятие о функции распределения. Чтобы ввести её, предварительно определимся с тем, что величина, обозначенная как Х, может занимать некоторый непрерывный промежуток, например (a,b), либо целиком всю ось.

Определение 1

Функция распределения случайной величины F(x) — это такая функция, которая для любого элемента множества Х, являющегося рациональным числом, будет определять вероятность события Х<х.

F(x)=P(X<x).

Геометрическое значение определения таково: F(x) — вероятность события состоящего в том, что величина, станет принимать значения, которые на оси координат находятся левее точки х. Также можно отметить, что функция F(x) носит и другие названия: «интегральная функция распределения», либо «интегральный закон распределения».

Определение 2

Случайную величину Х можно назвать непрерывной, если её функция распределения F(х) является непрерывной в любой точке, а также дифференцируемой в любой, кроме некоторых отдельных точек. Она может являться кусочно-дифференцируемой с производной непрерывного характера.

Если имеется величина Х, взятая на некотором промежутке. Вероятность того, что она примет одно какое-либо конкретное значение на данном промежутке, равняется нулю.

$P(X=x_1)=0$

Доказательство данного утверждения предусматривает то, что какой бы ни был промежуток, но общее количество значений, которые может принимать величина, будет бесконечным. Тогда согласно определению вероятности и определению предела, вероятность такого события будет стремиться к нулю.

Перечислим ещё несколько основных свойств, которыми обладает функция распределения.

Свойство 1

Функция распределения определена на всей оси чисел, но принимать значения она может только в промежутке от нуля до единицы.

$0\leq F(x)\leq1$

Свойство 2

Функция распределения либо не меняется, либо увеличивается при увеличении аргумента, то есть по определению является неубывающей функцией. На практике это означает, что 

$F(x_2)>F(x_1), если x_2>x_1$

Свойство 3

Пусть X случайная величина, заданная на интервале от a до b. Тогда для неё, а также её функции распределения будет справедливо:

Если $x \leq a $, то F(x)=0.

Если $x \geq b $, то F(x)=1.

Из приведённых свойств можно сделать несколько выводов, которые помогут при дальнейшем исследовании. Во-первых, для любой непрерывной величины Х, её вероятность попасть в промежуток от a до b является разностью функций распределения данной величины, взятой в крайних точках указанного интервала. $ P(a\leq X<b)=F(b) - F(a)=$. Это легко доказывается исходя из второго свойства функции распределения.

Также из второго свойства и утверждения $P(X=x_1)=0$ для любого конкретного $ x_1$ (если речь идёт о непрерывной величине) можно сделать следующие выводы:

$ P(a \leq X<b) = P(a < X < b) = P(a < X \leq b) =  P(a\leq X \leq b)$


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 449 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Интересно, что функцию распределения можно построить и для дискретной случайной величины. Пусть некоторая случайная величина Х задана с помощью следующего распределения:

  • При Х=2 р=0,4
  • При Х=5 р=0,2
  • При Х=9 p=0,4

Тогда составим функцию распределения. Из представленного дискретного распределения видно, что величина определена на промежутке от 2 до 9, а значит, согласно третьему свойству функции распределения можно записать:

F(x)=0 при $x \leq 2 $.

Это верно, так как на этом промежутке нет значений, которые были бы больше 2 и тем самым попадали бы в определённый для случайной величины промежуток. А значит любое событие в данном интервале, является невозможным.

Следующий рассматриваемый интервал $2 < x \leq 5 $. Здесь, согласно дискретному распределению, на всём интервале вероятность принимает значение 0,4, так как возможное значение аргумента, который будет меньше любого числа из данного промежутка, составляет только 2 и значит функция распределения будет соответствовать именно его вероятности.

Рассматривая следующий интервал $5 < x \leq 9 $, следует понимать — функция распределения учитывает вероятность, что значения, принятые случайной величиной, будут меньше любого числа в данном интервале. А так как для данного интервала таких значений случайной величины два, то и вероятность должна суммировать возможность появления обоих событий, а значит F(x)=0,2+0,4=0,6

Для интервала x>9 все значения будут меньше любого взятого из него числа, а значит вероятность для величины на этом участке будет равна единице. 

В целом функцию распределения можно записать так:

$F(x)=\begin{cases}0 & x \leq 2\\0,4 & 2<x\leq5 \\0,6 & 5<x\leq9 \\1 & x>9 \end{cases}$

На графике она будет выглядеть, как несколько отрезков, расположенных между двумя бесконечными прямыми, уходящими в плюс и в минус бесконечность.