Теорема Безу

Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

  1. Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

    Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .

  2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
  3. Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ :

$$f(1)=17 \cdot 1^{3}-13 \cdot 1^{2}-4=17-13-4=0$$

Что и требовалось доказать

Другая информация