Теорема сложения вероятностей

Формулировка теоремы сложения вероятностей

Теорема

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Несколько событий называются несовместными, если никакие из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий:

$$P\left(\sum_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Говорят, что события $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет, хотя бы одно из событий этой группы.

Следствие 1. Если события $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

$$\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)=1$$

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

$$P(A)+P(\overline{A})=1$$

здесь $\overline{A}$ - событие, противоположное событию $A$ .

Примеры решения задач

Пример

Задание. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

$A = \{$ Выиграть не менее 20 руб $\}$

$A_1 = \{$ Выиграть 20 руб $\}$

$A_2 = \{$ Выиграть 100 руб $\}$

$A_3 = \{$ Выиграть 500 руб $\}$

Очевидно, что $A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$

Тогда по теореме сложения вероятностей имеем:

$$P(A)=P\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)=$$

$$=0,05+0,01+0,001=0,061$$

Ответ. $0,061$

Пример

Задание. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад $0,01$; во второй - $0,008$; в третий - $0,025$. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. Рассмотрим события:

$A = \{$ Склад взрывается $\}$

$A_1 = \{$ Попадание в первый склад $\}$

$A_2 = \{$ Попадание во второй склад $\}$

$A_3 = \{$ Попадание в третий склад $\}$

Введенные события связаны равенством:

$$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$$

Так как при сбрасывании одной бомбы события $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ несовместны, то

$$P(A)=P\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)=$$

$$=0,01+0,008+0,025=0,043$$

Ответ. $0,043$

Другая информация