Содержание:

Формулировка теоремы сложения вероятностей

Теорема

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

Несколько событий называются несовместными, если никакие из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий:

$$P\left(\sum_{i=1}^{n} A_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)$$

Говорят, что события $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно произойдет, хотя бы одно из событий этой группы.

Следствие 1. Если события $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

$$\sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)=1$$

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

$$P(A)+P(\overline{A})=1$$

здесь $\overline{A}$ - событие, противоположное событию $A$ .

Примеры решения задач

Пример

Задание. В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 100 билетов - выигрыши по 100 руб., на 50 билетов - выигрыши по 20 руб., на 100 билетов - выигрыши по 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение. Рассмотрим события:

$A = \{$ Выиграть не менее 20 руб $\}$

$A_1 = \{$ Выиграть 20 руб $\}$

$A_2 = \{$ Выиграть 100 руб $\}$

$A_3 = \{$ Выиграть 500 руб $\}$

Очевидно, что $A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$

Тогда по теореме сложения вероятностей имеем:

$$P(A)=P\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)=$$

$$=0,05+0,01+0,001=0,061$$

Ответ. $0,061$

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад $0,01$; во второй - $0,008$; в третий - $0,025$. При попадании в один из складов взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. Рассмотрим события:

$A = \{$ Склад взрывается $\}$

$A_1 = \{$ Попадание в первый склад $\}$

$A_2 = \{$ Попадание во второй склад $\}$

$A_3 = \{$ Попадание в третий склад $\}$

Введенные события связаны равенством:

$$A=A_{1}+A_{2}+A_{3}$$

Так как при сбрасывании одной бомбы события $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ несовместны, то

$$P(A)=P\left(A_{1}+A_{2}+A_{3}\right)=P\left(A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right)=$$

$$=0,01+0,008+0,025=0,043$$

Ответ. $0,043$