Элементарные функции комплексного аргумента

Содержание:

• Дробно-рациональная функция
• Экспоненциальная функция
• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции:
• Логарифмическая функция
• Общая степенная функция
• Обратные тригонометрические и гиперболические функции:

1. Дробно-рациональная функция

$$f(z)=\frac{a_{n} z^{n}+a_{n-1} z^{n-1}+\ldots+a_{1} z+a_{0}}{b_{m} z^{m}+b_{m-1} z^{m-1}+\ldots+b_{1} z+b_{0}}, m, n \in N$$

Частные случаи:

a) линейная функция $f(z)=a z+b, a \neq 0, a, b \in C$ ;

б) степенная функция с натуральным показателем $f(z)=z^{n}, n \in N$;

в) дробно-линейная функция $f(z)=\frac{a z+b}{c z+d}, a, b, c, d \in C$ ;

г) функция Жуковского $f(z)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$ .

2. Экспоненциальная функция

$$f(z)=e^{z}=e^{x+i y}=e^{x}(\cos y+i \sin y)$$

Используется еще обозначение $\exp (z)=e^{z}$. Данная функция является периодической функцией с основным периодом $2 \pi i$, то есть имеет место соотношение:

$$e^{z+2 \pi i}=e^{z}$$

3. Тригонометрические функции

$$\begin{aligned} \sin z=\frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i} &, \quad \cos z=\frac{e^{i z}+e^{-i z}}{2} \\ \operatorname{tg} z=\frac{\sin z}{\cos z}, & \operatorname{ctg} z=\frac{\cos z}{\sin z} \end{aligned}$$

Для тригонометрических функций сохраняются теоремы сложения, а следовательно, и остальные формулы, справедливые для тригонометрических функций действительного переменного. Они являются периодическими функциями с теми же периодами, что и соответствующие тригонометрические функции действительного переменного. Однако в случае комплексного переменного функции $\sin z$ и $\cos z$ ограниченными не являются.

4. Гиперболические функции:

$$\operatorname{sh} z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}, \operatorname{ch} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2},$ th $z=\frac{\operatorname{sh} z}{\operatorname{ch} z}, \operatorname{cth} z=\frac{\operatorname{ch} z}{\operatorname{sh} z}$$

Гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями от мнимого аргумента следующими соотношениями:

$$\begin{aligned} \operatorname{sh} x=-i \sin i x, & \operatorname{ch} x=\cos i x, \text { th } x=-i \operatorname{tg} i x \\ \operatorname{sh} i x &=i \sin x, \operatorname{chix}=\cos x, \text { thi } x=i \operatorname{tg} x \end{aligned}$$

5. Логарифмическая функция

$$f(z)=\operatorname{Ln} z=\ln |z|+i \arg z+2 \pi k i, k \in Z$$

6. Общая степенная функция

$$f(z)=z^{a}=e^{a \operatorname{Ln} z}$$

При $a=\frac{1}{n}, n \in N$ получаем многозначную функцию - корень $n$-й степени из $z$ :

$$f(z)=\sqrt[n]{z}=e^{\frac{\ln |z| i(\arg z+2 \pi k)}{n}}=\sqrt[n]{|z|} \cdot e^{i \frac{\arg z+2 \pi k}{n}}$$

7. Обратные тригонометрические и гиперболические функции:

$$\begin{aligned} f(z)=\operatorname{Arcsin} z, f(z) &=\operatorname{Arccos} z \\ f(z)=\operatorname{Arctg} z, f(z) &=\operatorname{Arcctg} z \\ f(z)=\operatorname{Arsh} z, f(z) &=\operatorname{Arch} z \\ f(z)=\operatorname{Arth} z, & f(z)=\operatorname{Arcth} z \end{aligned}$$

Эти функции можно выразить через логарифмическую:

$$f(z)=\operatorname{Arcsin} z=-i \operatorname{Ln}\left(i z+\sqrt{1-z^{2}}\right)$$ $$f(z)=\operatorname{Arcos} z=-i \operatorname{Ln}\left(z+i \sqrt{1-z^{2}}\right)$$ $$f(z)=\operatorname{Arctg} z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln} \frac{1+i z}{1-i z}$$ $$f(z)=\operatorname{Arcctg} z=-\frac{i}{2} \operatorname{Ln} \frac{z i-1}{z i+1}$$ $$f(z)=\operatorname{Arsh} z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}+1}\right)$$ $$f(z)=\operatorname{Arch} z=\operatorname{Ln}\left(z+\sqrt{z^{2}-1}\right)$$ $$f(z)=\operatorname{Arth} z=\frac{1}{2} \operatorname{Ln} \frac{1+z}{1-z}$$ $$f(z)=\operatorname{Arcth} z=\frac{1}{2} \operatorname{Ln} \frac{z+1}{z-1}$$

Читать дальше: условия Коши-Римана.