Определение

Условия Коши-Римана, которые также в некоторых источниках называются условиями Даламбера-Эйлера - соотношения, связывающие вещественную $u=u(x;y)$ и мнимую $v=v(x;y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$, где $z=x+iy$ .

Для того чтобы функция $f=f(z)$, которая определена в некоторой области комплексной плоскости $D$, была дифференцируема в точке $z_{0}=x_{0}+i y_{0}$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $u=u(x;y)$ и $v=v(x;y)$ были дифференцируемы в точке $(x_0;y_0)$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и в этой точке выполнялись условия Коши-Римана:

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} &=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{aligned}$$

Эти условия впервые появились в работе французского ученого-энциклопедиста, философа, математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717 - 1783) в 1752 году. В работе швейцарского, немецкого и российского математика и механика Леонардо Эйлера (1707 - 1783), доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций. Великий французский математик и механик Огюстен Луи Коши (178 9- 1857) пользовался этими соотношениями для построения теории функций.

Пусть задана действительная часть $u(x;y)$ функции комплексной переменной $f(z)$. Требуется найти мнимую часть $v(x;y)$ этой функции. Найти саму функцию $f=f(z)$, используя некоторое начальное условие.

Алгоритм решения состоит в следующем:

1) Используя условия Коши-Римана, находим мнимую часть $v(x;y)$ .

2) Когда и действительная, и мнимая части функции $f(z)$ известны, составляем функцию $f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)$ . Далее в полученном выражении надо произвести такие преобразования, чтобы выделить переменную $z=x+iy$ или $$\bar{z}=x-i y$$, то есть "избавиться" от переменных $x$ и $y$.

Замечание 1

На практике будут полезны соотношения:

$$x+i y=z$$ $$x^{2}+2 x y i-y^{2}=(x+i y)^{2}=z^{2}$$ $$x^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}-y^{3} i=(x+i y)^{3}=z^{3}$$

Замечание 2

Поделить на мнимую единицу $i$ равносильно умножению на $-i$.

3) В конечном итоге будет получена функция $f(z)$, выражение которой содержит только комплексную переменную $z$ и константы. Используя начальное условие, если оно задано, находим значение константы и окончательно получаем искомую функцию.

Аналогично по известной мнимой части $v(x;y)$ можно найти действительную часть $u(x;y)$. Алгоритм решения практически идентичен.

Пример

Задание. По действительной часть $u(x ; y)=-x^{2}+y^{2}-5 y$ функции комплексной переменной восстановить мнимую часть $v(x;y)$ данной функции и составить саму функцию, которая удовлетворяет начальному условию $f(0)=0$ .

Решение. 1) Сначала найдем мнимую часть $v(x;y)$ функции $f(z)$. Из первого условия Коши-Римана имеем, что

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$

то есть

$$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(-x^{2}+y^{2}-5 y\right)=-2 x$$

Тогда

$$v(x ; y)=\int(-2 x) d y+\phi(x)$$

Если мы продифференцируем последнее равенство по $y$ (то есть найдем $\frac{\partial v}{\partial y}$ ), то как раз получим $-2x$. Отсюда

$$v(x ; y)=\int(-2 x) d y+\phi(x)=-2 x y+\phi(x)$$

Неизвестной остается функция $\phi (x)$.

Согласно второму условию Коши-Римана имеем:

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

то есть

$$2 y-5=-\left(-2 y+\phi^{\prime}(x)\right) \Leftrightarrow 2 y-5=2 y-\phi^{\prime}(x)$$

Из последнего равенства определяем, что

$$\phi^{\prime}(x)=5 \Rightarrow \phi(x)=\int 5 d x=5 x+C$$

Итак,

$$v(x ; y)=-2 x y+5 x+C$$

2) Мнимая часть искомой функции $f(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

$$f(z)=u(x ; y)+i v(x ; y)=-x^{2}+y^{2}-5 y+i(-2 x y+5 x+C)$$

Далее наша задача так сгруппировать слагаемые, чтобы выделить переменную $z$ или какую-либо ее степень. Раскроем скобки и перепишем полученное выражение следующим образом:

$$f(z)=-x^{2}+y^{2}-5 y-2 x y i+5 x i+C i=$$ $$=\left(-x^{2}+y^{2}-2 x y i\right)+(-5 y+5 x i)+C i=$$ $$=-\left(x^{2}+2 x y i-y^{2}\right)+5 i\left(x-\frac{y}{i}\right)+C i$$

Тогда согласно замечанию 1 первую скобку свернем как квадрат суммы, а согласно замечанию 2 во вторых скобках преобразуем выражение. Имеем, что:

$$f(z)=-(x+y i)^{2}+5 i(x+y i)+C i=-z^{2}+5 z i+C i$$

Итак, получили, что в выражении искомой функции $f(z)$ присутствует только переменная $z$ и константа.

3) Используя начальное условие $f(0)=0$, найдём значение константы $C$ . Для этого в выражении функции $z$ заменим на 0, $f(z)$ также равно 0, будем иметь:

$$f(0)=0=-0^{2}+5 \cdot 0 \cdot i+C i \Rightarrow C i=0 \Rightarrow C=0$$

Таким образом,

$$f(z)=-z^{2}+5 z i$$

С учетом того, что $C=0$, запишем, что мнимая часть $v(x ; y)=-2 x y+5 x$ .

Ответ. $v(x ; y)=-2 x y+5 x, f(z)=-z^{2}+5 z i$

Читать первую тему - понятие комплексного числа, раздела комплексные числа.

Слишком сложно?

Условия Коши-Римана. Восстановление функции комплексной переменной по ее действительной или мнимой части не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание