Ускорение свободного падения

Определение ускорения свободного падения

Определение

Ускорением свободного падения называют ускорение, которое телу придает сила тяжести, если другие силы на рассматриваемое тело не действуют или их действие взаимно компенсируется.

Ускорение свободного падения обозначают буквой $g$. На поверхности Земли оно изменяется пределах от $9,78\ \frac{м}{с^2}$ до $9,832\ \frac{м}{с^2}$. На полюсах Земли ускорение свободного падения максимально, на экваторе минимально. Средним (стандартным или нормальным) значением ускорения свободного падения на Земле принято считать его величину, равную $g=9,80665\ \frac{м}{с^2}\ $. В задачах величину ускорения свободного падения считают равной $g=9,81\frac{м}{с^2}$ или часто даже полагают $g=10\frac{м}{с^2}$, если расчеты приблизительные.

В соответствии с обобщенным законом Галилея все тела, находящиеся в одном и том же поле тяготения падают с одинаковыми ускорениями. Это означает, что в данной точке Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Изменение величины ускорения свободного падения около поверхности Земли в зависимости от широты связано с суточным вращением нашей планеты вокруг своей оси и тем, что форма Земли отличается от формы шара (Земля сплюснута).

Зависимость ускорения свободного падения от высоты над уровнем Земли

Если суточным вращением Земли пренебречь, то сила тяжести ($P=mg$) равна по величине силе тяготения (F):

\[P=mg=F=\gamma \frac{mM}{R^2}\left(1\right),\]

где $M$ - масса Земли; $R$ - расстояние от центра Земли, до рассматриваемого тела; $\gamma $- гравитационная постоянная. Формула (1) справедлива, если тело находится около поверхности Земли, тогда ускорение свободного падения равно:

\[g=\gamma \frac{M}{R^2}\left(2\right).\]

Ускорение, вычисляемое при помощи формулы (2) называют ускорением свободного падения на уровне моря.

Допустим, что тело находится на высоте $h$ над уровнем Земли, тогда сила тяжести, действующая на тело равна:

\[P=\gamma \frac{mM}{{\left(R_Z+h\right)}^2}\left(3\right),\]

где $R_Z$ - радиус Земли. В таком случае ускорение свободного падения зависит от высоты, на которой находится рассматриваемое тело:

\[g=\gamma \frac{M}{{\left(R_Z+h\right)}^2}\left(4\right).\]

Изменениями ускорения свободного падения на высотах, которые много меньше, чем радиус Земли обычно пренебрегают. При этом считают, что ускорение свободного падения постоянная величина.

Влияние вращения Земли на ускорение свободного падения

Как уже отмечалось, на ускорение свободного падения оказывает влияние вращение нашей планеты вокруг своей оси. Допустим, что тело массой $m$ находится в точке с географической широтой $\varphi $. Вместе в планетой тело движется и при этом траекторией его движения является окружность радиуса $r$, равного:

\[r=R_Z{\cos \varphi \ \left(5\right),\ }\]

где $R_Z$ - радиус Земли. Центростремительное ускорение ($a_n$) нашего тела при этом будет составлять величину:

\[a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{4{\pi }^2R_Z{\cos \varphi \ }}{T^2}\ \left(6\right),\]

где $T$ - период вращения Земли. Силу тяготения ($F$) можно разложить на две составляющие: центростремительную силу ($F_n$) и силу тяжести ($P$). Сила тяжести везде кроме полюсов, меньше силы тяготения. Везде, кроме экватора и полюсов, сила тяжести направлена не точно в центр Земли, а немного в сторону от него.

За счет вращения Земли сила тяжести на полюсах больше, чем у экватора, наша планета сплюснута.

Ускорение свободного падения на полюсе ($g_p$) максимально. Так как центростремительное ускорение равно нулю, полярный радиус ($R_p$) минимален:

\[g_p=\frac{\gamma M}{R^2_p}\left(7\right).\]

Ускорение свободного падения ($g_e$) на экваторе равно разности:

\[g_e=\frac{\gamma M}{R^2_e}-a^e_n=\frac{\gamma M}{R^2_e}-\frac{4{\pi }^2R_e}{T^2}\left(8\right),\]

где $R_e$ - экваториальный радиус Земли. Величину $\frac{\gamma M}{R^2_e}$ называют напряженностью гравитационного поля Земли.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Радиус некоторой планеты равен R, ее средняя плотность составляет $\rho $, считая, что масса планеты распределена равномерно, определите ускорение свободного падения около поверхности этой планеты.

Решение. Ускорение свободного падения около поверхности планеты можно найти как:

\[g=\gamma \frac{M}{R^2}\left(1.1\right),\]

где $R$ - радиус планеты; $M$ - масса планеты. Массу планеты найдем, считая ее шаром:

\[M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho \ \left(1.2\right).\]

Тогда ускорение свободного падения около поверхности этой планеты равно:

\[g=\gamma \frac{\frac{4}{3}\pi R^3\rho \ }{R^2}=\frac{4}{3}\gamma \pi \rho R.\]

Ответ. $g=\frac{4}{3}\gamma \pi \rho R.$

Пример 2

Задание. Какова зависимость ускорения свободного падения от расстояния от центра планеты$\ (\ r)$, если планета - однородный шар, плотность которого равна $\rho ?$ Радиус планеты R. Изобразите график $g\left(r\right).$

Решение. Рассмотрим случай, когда расстояние от центра планеты меньше ее радиуса ($r$ меньше $R$) (рис.1 (а)).

Ускорение свободного падения, пример 2

Расположим тело массы $m$ на расстоянии $r$ от центра планеты (в точке А). Тогда тело притягивается к планете с силой:

\[mg=\frac{\gamma M'm}{r^2}\left(2.1\right),\]

где $M'=\frac{4}{3}\pi r^3\rho $ - масса планеты, которая ограничена сферической поверхностью радиуса $r$. При этом, ускорение свободного падения равно:

\[g_1(r)=\frac{\gamma \frac{4}{3}\pi r^3\rho }{r^2}=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r.\]

Расположим материальную точку массы $m$ в точке А за пределами планеты (рис.1 (б)), тогда по закону всемирного тяготения на точечную массу действует сила, равная:

\[mg=\gamma \frac{mM'}{r^2}\ \left(2.2\right),\]

где $M'=\frac{4}{3}\pi R^3\rho $, в этом случае ускорение свободного падения равно:

\[g_2(r)=\gamma \frac{4}{3}\pi R^3\frac{\rho }{r^2}.\]

В результате получаем:

\[\left\{ \begin{array}{c} g_1\left(r\right)=\frac{4}{3}\pi \gamma \rho r\ при\ r\le R \\ g_2\left(r\right)=\gamma \frac{4}{3}\pi R^3\frac{\rho }{r^2}при\ r\ge R. \end{array} \right.\ \]

Ускорение свободного падения, рисунок 2

Читать дальше: центростремительное ускорение.

Калькулятор стоимости

Рассчитайте цену решения ваших задач

Ошибка
Ошибка
Закрыть

Калькулятор
стоимости

Решение контрольной
от 300 рублей *

* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя

Файлы doc, pdf, xls, jpg, png не более 5 МБ.
Ошибка
Ошибка
Нажимая кнопку «Узнать точную цену», я принимаю Политику конфиденциальности