Колебания, происходящие под воздействием периодически изменяющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.
Вынужденные колебания, резонанс
Напомним, что собственные колебания - это колебания, которые происходят при отсутствии каких-либо внешних воздействий. Внешнее воздействие необходимо только для того, чтобы вывести колебательную систему из состояния равновесия, после чего она предоставляется самой себе. Дифференциальное уравнение, описывающее собственные колебания не имеет ни каких следов внешнего воздействия на систему. Внешнее воздействие отражается только в начальных условиях колебаний.
Однако, для того чтобы осуществлять незатухающие колебания в реальной действительности, необходимо компенсировать потери энергии колебательной системой, которые происходят в результате действия разного рода сил трения. Особенно важным и простым для изучения является случай, когда внешняя сила обладает периодическим характером. Общей характеристикой вынужденных колебаний, которые осуществляются при воздействии внешней периодической силы, является то, что через некоторое время после начала действия этой силы, колебательная система «забывает» свое начальное состояние, колебания носят стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия играют существенную роль только при установлении колебаний, такой начальный период, обычно называют переходным процессом.
Определение вынужденных колебаний
Определение
Гармоническое внешнее воздействие
Пусть на колебательную систему действует внешняя сила, которая изменяется по гармоническому закону:
\[F=F_0{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(1\right).\]Уравнение движения для системы, в которой на колебательную систему действуют возвращающая сила (например, сила упругости), сила сопротивления и вынуждающая сила может быть записано в виде:
\[\frac{d^2\xi }{dt^2}+2дa\frac{d\xi }{dt}+{\omega }^2_0\xi =f_0{cos \left(\omega t\right)\ }\left(2\right),\]где $\xi $ - колеблющийся параметр, например, координата $x$, при колебаниях пружинного маятника вдоль оси X; $f_0=\frac{F_0}{m}$ если колебания механические ($x_0=\frac{U_m}{L}-\ в\ случае\ электрических\ колебаний$); $\delta $ - коэффициент затухания; ${\omega }_0$ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $\delta $=0, то ${\omega }_{0\ }$называют собственной частотой колебаний).
Решение уравнения (2) - это сумма общего решения однородного уравнения:
\[\frac{d^2\xi }{dt^2}+2\delta \frac{d\xi }{dt}+{\omega }^2_0\xi =0\ \left(3\right)\]и частного решения неоднородного уравнения.
Общее решение уравнения (3):
\[{\xi }_1=A_0e^{-\delta t}{cos \left({\omega }_1t+{\varphi }_1\right)\left(4\right),\ }\]где $A_0$ - начальная амплитуда колебаний.
Частное решение уравнения (2) представляет выражение:
\[\xi =A{\cos (\omega t-\varphi )\ }\left(5\right),\]где $A=\frac{f_0}{\sqrt{{\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}}(6)$; $\varphi =arc\ tg\ \frac{2\delta \omega }{{\omega }^2_0-{\omega }^2} (7)$.
Слагаемое ${\xi }_1$ в решении уравнения (2) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (6).
Установившиеся вынужденные колебания происходят с частотой $\omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определены формулами (6) и (7).
Резонанс при вынужденных колебаниях
При приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний, появляется резкий рост амплитуды колебаний. Это явление называют резонансом.
Формула (6) показывает, что амплитуда вынужденных колебаний имеет максимум. Найдем частоту при которой возникает резонанс. (частоты при которой $A=max$). Для этого необходимо отыскать максимум функции $A(\omega )$. Вычислим производную $\frac{dA}{d\omega }$ и приравняем ее к нулю имеем:
\[-4\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)\omega +8{\delta }^2\omega =0\ \left(8\right).\]Выражение (8) справедливо при:
\[\left\{ \begin{array}{c} {\omega }_1=0;; \\ {\omega }_2=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2;;} \\ {\omega }_3=-\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2.} \end{array} \right.\]Получаем, частота резонанса (${\omega }_r$) равна:
\[{\omega }_r=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2}\left(9\right).\]При ${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$ резонансная частота равна собственной частоте колебаний ${\omega }_0.$ Подставив вместо частоты правую часть выражения (9) в формулу (6), амплитуда вынужденных колебаний равна:
\[A_r=\frac{f_0}{2\delta \sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}\left(10\right).\]При малом затухании колебаний (${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$) амплитуда в состоянии резонанса:
\[A_r=\frac{f_0}{2\delta {\omega }_0}=Q\frac{f_0}{{\omega }^2_0}\left(11\right),\]где $Q=\frac{{\omega }_0}{2\delta }$ - добротность колебательной системы, величина, которая характеризует резонансные свойства колебательной системы. При увеличении добротности растет амплитуда резонанса.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова амплитуда установившихся вынужденных колебаний, если силой трения, действующей на колебательную систему можно пренебречь? Нарисуйте график зависимости амплитуды от частоты вынуждающей силы.
Решение. Запишем уравнение установившихся колебаний при воздействии на систему гармонической силы в отсутствии сил трения:
\[\frac{d^2\xi }{dt^2}+{\omega }^2_0\xi =f_0{cos \left(\omega t\right)\ }\left(1.1\right).\]Решение уравнения будем искать в виде:
\[\xi \left(t\right)=A{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(1.2\right).\]Вычислим вторую производную от $\xi \left(t\right)$ по времени:
\[\frac{d\xi }{dt}=-A\omega {\sin \left(\omega t\right);;\ \ }\frac{d^2\xi }{dt^2}=-A{\omega }^2{\cos \left(\omega t\right)\ \left(1.3\right).\ }\]Подставим результат (1.3) в уравнение (1.1), имеем:
\[-A{\omega }^2{cos \left(\omega t\right)\ \ }+{\omega }^2_0A{cos \left(\omega t\right)\ }=f_0{cos \left(\omega t\right)\ }\to A\left(-{\omega }^2+{\omega }^2_0\right)=f_0\to A=\frac{f_0}{{\omega }^2_0-{\omega }^2}.\]Рассмотрим функцию
\[A=\frac{f_0}{{\omega }^2_0-{\omega }^2}(1.4).\]При $\omega =0$ из выражения (1.4) получим:
\[A=\frac{f_0}{{\omega }^2_0}\left(1.5\right).\]Из выражения (1.2) следует, что при $\omega =0$:
\[\xi \left(t\right)=A=\frac{f_0}{{\omega }^2_0}=const\]
Ответ. $A=\frac{f_0}{{\omega }^2_0-{\omega }^2}$
Пример 2
Задание. Объясните, почему при описании вынужденных колебаний в состоянии резонанса следует учитывать силы трения?
Решение. При описании вынужденных колебаний около резонансных частот учет трения является принципиально необходимым. С учетом трения амплитуда колебаний становится конечной. Амплитуда вынужденных колебаний тем меньше, чем больше трение. Само понятие установившихся колебаний, строго говоря, применимо к системам при наличии в них трения. Если трение бы отсутствовало, то процесс установления колебаний был бы бесконечно долгим.
При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при $\omega <{\omega }_0$ и в противофазе при $\omega >{\omega }_0$, как и в отсутствии трения. Около резонанса фаза изменяется непрерывно. При точном совпадении $\omega ={\omega }_0$ смещение $\xi (t)$ отстает от вынуждающей силы на четверть периода. При этом скорость $\dot{\xi }(t)$ софазна с вынуждающей силой, что создает максимально благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней силы к колебательной системе.
Читать дальше: движение тела брошенного горизонтально.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
