• Главная
• Справочник
• Физика

Равномерное движение по окружности

Пусть материальная точка движется по окружности равномерно. Если движение называют равномерным, значит, модуль скорости при перемещении точки является постоянным ($v=const$). Но нельзя сказать, что ускорение точки при этом равно нулю, так как скорость - величина векторная и кроме модуля у нее есть еще направление, а при криволинейном движении, каким является движение по окружности, направление скорости постоянно изменяется. (Мы знаем, что вектор скорости является касательным к траектории, по которой перемещается наша точка, то есть является касательной к окружности в рассматриваемой точке).

Скорость и ускорение при равномерном движении по окружности

Пусть A и B - точки, принадлежащие траектории движения нашей частицы. При перемещении из точки А в точку В вектор изменения скорости ($\Delta \overline{v}$) равен:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}_B-{\overline{v}}_A\left(1\right).\]

Устремим время движения частицы к нулю ($\Delta t\to 0$), тогда длина дуги AB будет равна длине хорды AB. Из подобия треугольников AOB и BCD получаем:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{R}=\alpha \left(2\right),\]

где $R$ - радиус окружности.

Модуль среднего ускорения точки найдем как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{R\Delta t}\left(3\right).\]

Величину мгновенного ускорения получают при переходе к пределу:

\[a={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle a\right\rangle \ }={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{v\Delta l}{R\Delta t}=\frac{v}{r}\ }\mathop{{\rm lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{v}{R}v=\frac{v^2}{R}\left(4\right).\]

Выражение (4) говорит нам о том, что при равномерном движении материальной точки по окружности модуль ускорения не изменяется. При этом величина полного ускорения ($a$) совпадает с модулем центростремительного ускорения ($a_n$). Кроме того, можно сказать, что и их направления так же одинаковы. При равномерном движении точки по окружности:

\[\overline{a}={\overline{a}}_n\left(5\right).\]

Вектор среднего ускорения имеет с вектором скорости угол равный$\ \beta $:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(6\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получаем, что угол между вектором мгновенного ускорения и скорости при равномерном движении по окружности равен $90{}^\circ \ $.

И так, материальная точка, движущаяся с постоянной скоростью по окружности, обладает ускорением, направленным к центру окружности (перпендикулярное вектору скорости), его модуль равен скорости в квадрате, деленной на радиус окружности. Такое ускорение называют центростремительным или нормальным, обозначают его обычно ${\overline{a}}_n$.

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(7\right),\]

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$).

Местоположение точки на окружности можно задавать не только с помощью расстояния от некоторой начальной точки, а так же с помощью угла $\varphi $, поворота радиус-вектора, который определяет положение частицы на траектории (рис.2).

Совместно с углом поворота движение точки по окружности характеризуют при помощи угловой скорости движения ($\omega $), которую определяют как

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(8\right).\]

где $\omega $ характеризует быстроту изменения угла $\varphi $.

При равномерном движении по окружности угловая скорость постоянная величина.

Линейная и угловая скорости движения по окружности связывает формула:

\[v=R\omega \left(9\right).\]

Период и частота при равномерном движении по окружности

Равномерное движение по окружности можно характеризовать при помощи такой физической величины как период обращения ($T$), который определяют как время совершения материальной точкой полного оборота. Используют и частоту ($\nu$) обращения, которую определяют как величину обратную периоду, равную количеству оборотов за единицу времени:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(10\right).\]

При равномерном движении по окружности угловая скорость, частота и период связаны как:

\[\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \left(11\right).\]

Формула (9) дает возможность центростремительное ускорение определить как:

\[a_n=\frac{4{\pi }^2}{T^2}R=4{\pi }^2{\nu }^2R\ \left(12\right).\]

Отметим, что при неравномерном движении по окружности период ($T$) и частота ($\nu$) свой смысл теряют, о них можно говорить только при равномерном движении по окружности.

Примеры задач с решением

Читать дальше: сила упругости. Закон Гука.