Если частицы совершают колебания в направлении распространения волны, то такую волну называют продольной.
Продольные и поперечные волны
Отвлечемся от внутреннего строения вещества для того, чтобы исследовать законы распространения механических волн. Вещество будем рассматривать как сплошную среду, непрерывно изменяющуюся в пространстве.
Частицей, изучая колебания, будем называть малый элемент объема среды, размеры которого много больше, чем расстояния между молекулами, при этом частицу среды принимаем за материальную точку.
Рассматривая механические волны, будем считать вещества, в которых они распространяются, упругими, внутренние силы, возникающие в них при малых деформациях, пропорциональными величине деформации.
При возбуждении колебания, в каком- либо месте упругой среды, в результате взаимодействия частиц среды, оно распространяется в веществе от точки к точке с некоторой конечной скоростью. Процесс распространения колебаний называют волной. Важным свойством волнового процесса является то, что в нем не происходит переноса массы, каждая частица выполняет колебания около положения равновесия. В волне от частицы к частице передается состояние колебательного движения и энергия колебаний. Волна переносит энергию.
В зависимости от направления колебаний частицы вещества по отношению к направлению распространения волны, волны делят на продольные и поперечные.
Продольные волны
Определение
Продольные волны распространяются в веществе, в котором возникают силы упругости, при деформации растяжения и сжатия в веществе в любом агрегатном состоянии.
Так, например, волны звука, распространяющиеся в воздухе, относят к продольным волнам. Продольные волны, имеющие частоты от 17 до 20~000 Гц называют звуковыми. Скорость распространения акустических волн зависит от свойств среды и ее температуры.
При распространении продольной волны в среде возникают чередования сгущений и разрежений частиц, перемещающихся в направлении распространения волны со скоростью $v$. Все время существования волны, элементы среды выполняют колебания у своих положений равновесия, при этом разные частицы совершают колебания со сдвигом по фазе. В твердых телах скорость распространения продольных волн больше, чем скорость поперечных волн.
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях равна:
\[v=\sqrt{\frac{K}{\rho }}\left(1\right),\]где $K$ - модуль объемной упругости вещества; $\rho =const$ - плотность среды. В газах формула (1) справедлива, если избыточное давление много меньше, чем равновесное давление невозмущенного газа.
Скорость распространения продольных волн в тонком стержне, вызванных его продольным растяжением и сжатием равна:
\[v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}\left(2\right),\]где $E$ - модуль Юнга вещества стержня.
Поперечные волны
Определение
Поперечной волной называют такую волну, в которой колебания частиц среды происходят в направлениях перпендикулярных к направлению распространения волны.
Механические волны могут быть поперечными только в среде, в которой возможны деформации сдвига (среда обладает упругостью формы). Следовательно, в жидкостях и газах механических поперечных волн не наблюдают. Поперечные механические волны возникают в твердых телах. Примером таких волн являются волны, которые распространяются в натянутых струнах.
Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно вычислить как:
\[v=\sqrt{\frac{G}{\rho }\left(3\right),}\]где $G$ - модуль сдвига среды; $\rho $ - плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Приведенная здесь скорость распространения упругих волн называется фазовой скоростью.
Уравнение продольной и поперечной волны
Основной задачей при изучении волн является установление закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной служит, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.
Самым простым видом волн являются гармонические волны. В таких волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.
Уравнение одномерной волны записывают как:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(4\right).\]где
\[k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}\left(5\right),\]$k$ - волновое число; $\lambda \ $ - длина волны; $A$ - амплитуда волны в точке (если среда не поглощает энергию, то амплитуда колебаний совпадает с амплитудой колебаний источника волн); $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ - фазой волны; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Поперечная волна распространяется по натянутой струне со скоростью $v=2\frac{м}{с}$, период колебаний точек струны равен T= 1 с, амплитуда колебаний составляет 0,05 м. Какими будут смещение и скорость малого элемента струны, который находится на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c?
Решение: Основой для решения задачи служит уравнение одномерной волны:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx\right]\ }\left(1.1\right),\]где $s$ - смещение точки струны, совершающей колебания; $x$ - расстояние от источника волны до рассматриваемой точки; $k=\frac{\omega }{v}$ - волновое число; $v$ - скорость распространения волны.
Циклическую частоту $\omega $ найдем (при T=1 c) как:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi (\frac{рад}{с})\left(1.2\right).\]Тогда волновое число при $v=2\frac{м}{с}$ равно:
\[k=\frac{2\pi }{2}=\pi (\frac{1}{м}).\]Уравнение для нашей волны в учетом данных задачи приобретет вид:
\[s=0,05{\cos \left[2\pi t-\pi x\right]\ }\ \left(1.3\right).\]Смещение точки струны, находящейся на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c будет равно:
\[s_1=0,05{\cos \left[2\pi \cdot 2-\pi \cdot 1\right]\ }=-0,05\ \left(м\right).\]Скорость рассматриваемой точки струны найдем как:
\[\frac{ds}{dt}\left(t_1,\ x_1\right)=-0,1\pi {\sin \left[2\pi t-\pi x\right]\ }=-0,01\pi {\sin \left[4\pi -\pi \right]=\ }0\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ: $s_1=-0,05$ м; $\frac{ds}{dt}\left(t_1,\ x_1\right)$=0$\frac{м}{с}$
Пример 2
Задание: Плоская одномерная волна распространяется в упругой среде. Изобразите на графике направление скорости частиц среды в точках $s=0,\ $при t=0 для продольной и поперечной волн.
Решение: Уравнением одномерной плоской волны служит выражение:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx\right]\ }\left(2.1\right).\]При $t=0\ c$ из выражения (2.1) получаем:
\[s=A{cos \left[kx\right]\ }\left(2.2\right).\]В продольной волне частицы смещаются вдоль направления скорости движения волны (рис.1).
В продольной волне частицы совершают колебания поперек направления скорости движения волны рис.2.
Читать дальше: прямолинейное равноускоренное движение.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
