И так, прямолинейным движением материальной точки называют движение, при котором эта точка имеет в качестве траектории прямую.
Прямолинейное равноускоренное движение
Прямолинейное движение
Пусть в некоторой системе отсчета материальная точка движется по прямой линии. В этом случае одну из осей координат обычно направляют по траектории движения частицы. Направим ось абсцисс (X) вдоль траектории движения точки. Тогда в каждый момент времени перемещающаяся точка имеет определенную координату ($x$), которая является функцией времени ($x=x(t)$). Вид этой функции называют законом движения точки.
Закон движения может быть записан аналитически (при помощи формулы) или задан графически (с помощью графика).
Определение
Равноускоренное движение
Любое неравномерное движение называют переменным.
Если при прямолинейном движении величина скорости увеличивается, а ускорение постоянно, то его называют равноускоренным прямолинейным движением. Для описания такого движения можно обойтись одной координатной осью, например X. Два уравнения позволяют решать любые задачи связанные с равноускоренным прямолинейным движением:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=v_{0x}+a_xt\ \left(1\right). \\ x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\left(2\right), \end{array} \right.\]где $v_{0x}$- проекция начальной скорости на ось X; $v_x$ - проекция скорости на ось X в момент времени $t$; $x_0$ - координата в момент начала наблюдений; $a_x$ - проекция вектора ускорения на ось X.
Перемещение и путь при прямолинейном равноускоренном движении
Проекция перемещения тела, движущегося прямолинейно по оси X равно:
\[\Delta x=x-x_0\left(3\right).\]Из уравнения (1.3) следует, что:
\[\Delta x=v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\left(4\right).\]Так как при рассматриваемом нами движении скорость материальной точки не изменяет направления, то путь ($s$) будет равен величине перемещения:
\[s=\left|\Delta x\right|=\left|v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\right|\left(5\right).\]Средняя скорость при прямолинейном равноускоренном движении
Выразим из формулы (1) ускорения движения точки:
\[a_x=\frac{v_x-v_{0x}}{t}\left(6\right).\]Подставим это ускорение в (4) имеем:
\[\Delta x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}t\to \frac{\Delta x}{t}=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\left(7\right).\]Величина $\frac{\Delta x}{t}$ является проекцией средней скорости на ось X:
\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{\Delta x}{t}\left(8\right).\]Мы получили, что средняя скорость при прямолинейном равноускоренном движении материальной точки по оси X равна:
\[{\left\langle v\right\rangle }_x=\frac{v_x+v_{0x}}{2}\left(9\right).\]Если при прямолинейном равноускоренном движении направление скорости не изменяется, то средняя величина скорости равна половине суммы модулей начальной ($v_0$) и конечной ($v$) скоростей:
\[\left\langle v\right\rangle =\frac{v_0+v}{2}\left(10\right).\]Формулы удобные в решении многих задач на равноускоренное прямолинейное движение:
Перемещение материальной точки при равноускоренном движении по прямой X:
\[\Delta x=\frac{v^2_x-v^2_{0x}}{2a_x}\left(11\right).\] \[v^2_x=v^2_{0x}+2a_x\Delta x\ \left(12\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Запишите векторные формулы при $\overline{a}=const$ для скорости и радиус - вектора ($\overline{r}$), который определят положение материальной точки в пространстве.
Решение: Из определения скорости ($\overline{v}$) как производной радиус- вектора $\overline{r}$ по времени:
\[\overline{v}=\frac{d\overline{r}\ }{dt}(1.1)\]следует, что приращение ($\Delta \overline{r}$) радиус - вектора $\overline{r}\left(t\right)$ за промежуток времени $\Delta t=t-0\ (c)$ можно найти как:
\[\Delta \overline{r}=\overline{r}-{\overline{r}}_0=\int\limits^t_0{\overline{v}dt}\left(1.2\right).\]При равноускоренном движении:
\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t(1.3)\]при вычислении интеграла (1.2) получаем:
\[\Delta \overline{r}=\overline{r}-{\overline{r}}_0=\int\limits^t_0{\left({\overline{v}}_0+\overline{a}t\right)dt}={\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\left(1.4\right),\]следовательно:
\[\overline{r}\left(t\right)={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}.\]Из определения ускорения:
\[\overline{a}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(1.5\right),\]приращение скорости равно:
\[\Delta \overline{v}=\overline{v}-{\overline{v}}_0=\int\limits^t_0{\overline{a}dt}\left(1.6\right).\]При $\overline{a}=const$ из интеграла (1.6), получаем:
\[\Delta \overline{v}=\overline{v}-{\overline{v}}_0=\overline{a}\int\limits^t_0{dt}=\overline{a}t\to \overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\left(1.7\right)\]
Пример 2
Задание: Маленький шарик скатывается равноускоренно по наклонной плоскости. Каким будет график зависимости его координаты от времени?
Решение: Допустим, что шарик начинает движение из состояния покоя ($v_0=0$). Шарик будем принимать за материальную точку. Начало координат выберем в точке начала движения (рис.1). Ось X направим по движению точки.
Уравнение изменения координаты $x$ запишем уравнением:
\[x=\frac{at^2}{2}\left(2.1\right).\]Графиком координаты будет парабола рис. 2. с вершиной в точке О.
Ответ:График изменения координаты при прямолинейном равноускоренном движении - парабола.
Читать дальше: путь и перемещение.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
