Сосуды, которые соединенные между собой и в которых жидкость может свободно перетекать из одного сосуда в другой, называют сообщающимися сосудами (рис.1).
Примеры сообщающихся сосудов
Определение и основные понятия сообщающихся сосудов
Определение
Форма сообщающихся сосудов может быть очень разной. Если давления над свободными уровнями жидкости одинаковые, то в сообщающихся сосудах однородная по плотности жидкость устанавливается на одном уровне во всех этих сосудах, и это не зависит от формы сосуда.
Объяснение этому факту простое. В жидкости в состоянии равновесия давление на одном уровне равно:
\[p=\rho gh\ \left(1\right),\]где $\rho $ - плотность жидкости; $g$ - ускорение свободного падения; $h$ - высота столба жидкости. Так как давления на одном уровне в жидкости одинаковое, то равными будут и высоты столбов жидкости.
Получается, что в равновесном состоянии свободная поверхность жидкости в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне, так как давление жидкости на любом ее горизонтальном уровне одинаково.
Сообщающиеся сосуды, в которых налиты жидкости разной плотности
Если в сообщающихся сосудах имеются жидкости с разными плотностями, то их уровни не будут находиться на одном уровне. Высоты столбов таких жидкостей разные.
Следствием закона сообщающихся сосудов является положение: в сообщающихся сосудах высоты столбиков жидкости над уровнем их раздела обратно пропорциональны плотностям этих жидкостей:
\[\frac{h_1}{h_2}=\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}\left(2\right),\]где ${\rho }_1$ и ${\rho }_2$ - плотности жидкостей; $h_1$, $h_2$ - соответствующие высоты столбов этих жидкостей. При одинаковом давлении над поверхностями жидкостей, высота столба жидкости с меньшей плотностью будет больше, чем высота столба более плотной жидкости.
Применение
На практике сообщающиеся сосуды применяются часто. Давно применяют такое устройство, как гидравлический пресс. Он состоит из двух цилиндров разного диаметра с поршнями (рис.2). Пространство в цилиндрах под поршнями обычно заполняют минеральным маслом.
Пусть площадь одного поршня, с приложенной силой ${\overline{F}}_1,$ равна $S_1$, площадь второго $S_2$, к нему приложена сила ${\overline{F}}_2$. Давление, создаваемое первым поршнем, составляет:
\[p_1=\frac{F_1}{S_1}\left(3\right).\]Второй поршень давит на жидкость:
\[p_2=\frac{F_2}{S_2}\left(4\right).\]При равновесии системы $p_1$ и $p_2$ равны, запишем:
\[\frac{F_1}{S_1}=\frac{F_2}{S_2}\left(5\right).\]Выразим величину силы, которую прикладывают к первому поршню:
\[F_1=F_2\frac{S_1}{S_2}(6)\]Из выражения (6), видим, что величина первой силы больше модуля силы $F_2$ в $\frac{S_1}{S_2}$ раз. Следовательно, с помощью гидравлического пресса, прикладывая небольшую силу к поршню малого сечения, можно получить большую по величине силу, которая будет действовать на большой поршень.
По принципу сообщающихся сосудов, в особенности раньше, действовал водопровод. На относительно большой высоте устанавливается бак с водой, от бака идут водопроводные трубы, закрываемые кранами. Давление у кранов соответствует давлению столба воды, который равен разности высот уровень крана - уровень воды в баке.
Принципом сообщающихся сосудов пользовались, когда проектировали фонтаны (рис.4), работающие без насосов, шлюзы на реках и каналах.
Струя фонтана появляется под давлением, когда сообщающиеся сосуды находятся на разном уровне.
Чайник и лейка является примерами сообщающихся сосудов, артезианский колодец и водомерное стекло в паровом котле. Добыча нефти может проводиться при использовании закона сообщающихся сосудов.
Примеры задач на сообщающиеся сосуды
Пример 1
Задание: Барометрическая трубка, имеющая площадь сечения $S$ частично погружена в чашу с ртутью. Не вынимая нижнего конца трубки из ртути, ее наклонили на угол $\alpha $ от вертикали. Диаметр чаши равен D. Давление атмосферы нормальное. На какую высоту изменится уровень ртути в чаше при наклоне трубки?
Решение: Так как давление по условию задачи считается нормальным, то можно сказать, что мы знаем высоту столба ртути в вертикальной трубке, так нормальное давление равно 760 мм рт. ст.
Обозначим высоту столба ртути в вертикальной трубке буквой $h$.
Мы знаем, что площадь сечения трубки равна $S$, значит объем ртути в трубке при ее вертикальном положении равен:
\[V=S\cdot h\left(1.1\right).\]Когда мы наклоняем трубку, внешнее давление атмосферы не изменяется, значит, высота столбика ртути в трубке останется неизменной, но объем ртути в трубке изменится. Длина столбика ртути ($l$) равна:
\[l=\frac{h}{{\cos \alpha \ }}\left(1.2\right).\]Объем ртути в наклоненной трубке равен:
\[V'=Sl=S\frac{h}{{cos \alpha \ }}\left(1.3\right).\]Найдем изменение объема ртути в трубке:
\[\Delta V=V'-V=S\frac{h}{{cos \alpha \ }}-Sh\ \left(1.4\right).\]На объем $\Delta V$ уменьшается объем ртути в чаше. Диаметр чаши равен D, следовательно, площадь чаши равна:
\[S_s=\frac{\pi D^2}{4}\left(1.5\right).\]Высота на которую уменьшится уровень ртути в чаше найдем как:
\[\Delta h=\frac{\Delta V}{S_s}=4\frac{\left(S\frac{h}{{cos \alpha \ }}-Sh\right)}{\pi D^2}=4Sh\left(\frac{1-{cos \alpha \ }}{{cos \alpha \cdot \ }\pi D^2}\right).\]Ответ: $\Delta h=4Sh\left(\frac{1-{cos \alpha \ }}{{cos \alpha \cdot \ }\pi D^2}\right)$
Пример 2
Задание: Кой площади необходимо сделать малый поршень в гидравлическом прессе, для того, чтобы выигрыш в силе получился равным $n$? Площадь большого поршня равна S.
Решение: Гидравлический пресс - это два цилиндрических сообщающихся сосуда. Если площадь большого поршня, с приложенной силой ${\overline{F}}_1,$ равна $S$, площадь малого поршня $S'$ к нему приложена сила ${\overline{F}}_2$, то из закона Паскаля имеем:
\[\frac{F_1}{S}=\frac{F_2}{S'}\left(2.1\right).\]Выразим $S'$ из (2.1), имеем:
\[S'=\frac{F_2}{F_1}S=\frac{1}{n}S,\]так как по условию выигрыш в силе ($\frac{F_1}{F_2}$) должен быть равен $n$.
Ответ: $S'=nS$
Читать дальше: продольные и поперечные волны.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
