• Главная
• Справочник
• Физика

Механические колебания и волны

Признаки колебаний

При этом происходит повторение значений физических величин, определяющих рассматриваемое движение или состояние. Различные физические явления представляют собой колебания: звуковые колебания, электромагнитные, механические и т.д. У всех этих явлений существует общее в законах и математических методах, при помощи которых они описываются.

Любая колебательная система описывается некоторым физическим параметром, отклонение которого от равновесного значения зависит от времени по периодическому или почти периодическому закону. Функция называется периодической, если выполняется равенство при любом $t$:

\[f\left(t+T\right)=f\left(t\right)(1),\]

где $T$ - период колебаний.

При механических колебаниях параметром, описывающим колебательную систему, являются смещение тела (материальной точки) от положения равновесия и его скорость.

Колебания называются свободными, если они происходят в системе, на которую не действуют внешние силы (или действие их взаимно скомпенсировано). Данную систему один раз выводят из состояния равновесия и предоставляют самой себе. Если колебательная система консервативная, то рассеяния энергии при колебаниях нет. В таком случае свободные колебания являются незатухающими. Свободные незатухающие колебания, которые происходят под воздействием упругих сил, являются гармоническими.

Периодом незатухающих колебаний называют минимальный промежуток времени ($T$) по истечении которого происходит повторение значений всех физических параметров, которые характеризуют колебание.

Частотой колебаний ($\nu $) называют величину обратную периоду колебаний, это количество полных колебаний, которое совершает колебательная система:

\[\nu =\frac{1}{T}\left(2\right).\]

Механические колебания, происходящие по гармоническому закону

Самым простым и распространенным типом колебаний являются гармонические колебания.

Рассмотрим гармонические колебания некоторого параметра $s\ $(в механических колебаниях - это смешение):

\[s=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{{\rm s}in ({\omega }_0t+{\varphi }_1)\ }\ }\ \left(3\right),\]

где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний (постоянна во времени); ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний (с течением времени не изменяется); $\varphi ;;\ $ ${\varphi }_1$- начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-A\le s\le $+A.

За период колебаний их фаза изменяется на величину $2\pi $, следовательно:

\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(4\right).\]

Циклической частотой ${\omega }_0$ называют величину, равную количеству полных колебаний, выполняемых колебательной системой за $2\pi \ $секунд:

\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(5\right).\]

Механические волны

Особенностью волнового процесса является то, что при движении волны частицы среды не перемещаются вместе с волной, они колеблются около своих положений равновесия. С волной среде передаются только состояния колебательного движения, энергия и импульс. Волна может переносить энергию, при этом ее называют бегущей.

Механическим или упругими волнами называют механические возмущения, которые распространяются в упругой среде.

В зависимости от направления колебаний частиц говорят о поляризации волны: механические волны делят на продольные и поперечные.

В продольных волнах частицы вещества совершают колебания в том же направлении, в котором распространяется волна. В поперечных волнах колебания частиц идут в плоскостях перпендикулярных к направлению, движения волны. Продольные волны возможны в любых телах (твердых, жидкостях, газах). Поперечные волны распространяются только в средах, где возможны деформации сдвига. Это твердые тела.

Уравнение гармонической волны

Основной задаче в изучении волн является установление закона изменения во времени и пространстве физических величин, которые однозначно характеризуют движение волны. При рассмотрении упругих волн такой величиной является, например, смещение ($s$) частиц среды от их положений равновесия. Функция $s$ в зависимости от координат пространства и времени называется уравнением волны.

Самым простым видом волн являются гармонические волны. В этих волнах параметры $s$ для всех частиц среды, которые охвачены волной, совершают гармонические колебания с одинаковыми частотами. Для реализации данного волнового процесса необходимо, чтобы источник гармонических волн совершал незатухающие гармонические колебания.

Допустим, что одномерная поперечная волна распространяется по оси X , от источника волны, находящегося в начале координат - точке О. Примером такой волны является, волна, которая распространяется в упругой бесконечной струне, один из концов которой заставляют совершать колебательные движения. Если колебания в точке О происходят по закону:

\[s_0=A_0{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\left(6\right),\ }\]

где $A_0$ - амплитуда; $\omega $- циклическая частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза. Тогда колебания в некоторой произвольной точке $M$ на оси X отстают по фазе от $s_0$ и происходят по закону:

\[s=A{\cos \left[{\omega }_0\left(t-t_1\right)+\varphi \right]\ }\left(7\right),\]

где $t_1=\frac{x}{v}$ - время, которое необходимо для того, чтобы волна прошла расстояние от источника волны до рассматриваемой точки $M$ ($ОА=x$). $A$ - амплитуда волны в точке $M$. Если среда в которой распространяется волна не поглощает энергию, то амплитуды колебаний и амплитуда волны совпадают:

\[A_0=A.\]

Уравнение одномерной волны (7) часто записывают в другой форме, вводя понятие волнового числа ($k$):

\[k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{{\omega }_0}{v}\left(8\right),\]

где $\lambda $ - длина волны.

\[s=A{\cos \left[{\omega }_0t-kx+\varphi \right]\ }\left(9\right).\]

Уравнения (7) и (9) называют уравнением одномерной волны.

Величина $\left[\omega t-kx+\varphi \right]$ фаза волны в произвольной точке $M$. Сравнивая уравнение (6) и уравнение (9), можно увидеть, что колебания в точке $M$ отстают от колебаний в источнике (точке О) по фазе на величину $kx$. Величину $\left(kx+\varphi \right)$ - называю начальной фазой колебаний в точке $M$.

Расстояние между двумя ближайшими точками среды, в которых разность начальных фаз колебаний равна $2\pi $, называют длиной волны ($\lambda $).

Примеры задач на механические колебания и волны

Читать дальше: относительность движения.