При рассмотрении системы частиц, часто удобно найти такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой является центр масс.
Центр масс
Определение центра масс
Определение
Если у нас две частицы одинаковой массы, то такая точка находится посередине между ними.
Координаты центра масс
Допустим, что две материальные точки, имеющие массы $m_1$ и $m_2$ находятся на оси абсцисс и имеют координаты $x_1$ и $x_2$. Расстояние ($\Delta x$) между этими частицами равно:
\[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]
Определение
Точку С (рис.1), делящую расстояние между этими частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц называют центром масс этой системы частиц.
В соответствии с определением для рис.1 имеем:
\[\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_2}{m_1}\left(2\right).\]Так как:
\[l_1{=x}_c-x_1;;\ l_1{=x}_2-x_c\left(3\right),\]где $x_c$ - координата центра масс, то получаем:
\[m_1\left(x_c-x_1\right)=m_2{(x}_2-x_c)(4).\]Из формулы (4) получим:
\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\left(5\right).\]Выражение (5) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом. При этом абсцисса центра масс равна:
\[x_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_ix_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(6\right).\]Аналогично получают выражения для ординаты ($y_c$) центра масс и его аппликаты ($z_c$):
\[y_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_iy_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(7\right).\] \[z_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_iz_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(8\right).\]Формулы (6-8) совпадают с выражениями, определяющими центр тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.
Если положение N материальных точек системы задано в векторной форме, то радиус - вектор, определяющий положение центра масс находим как:
\[{\overline{r}}_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{r}}_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(9\right).\]Движение центра масс
Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) имеет вид:
\[{\overline{v}}_c=\frac{m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2+\dots +m_n{\overline{v}}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}=\frac{\overline{P}}{M}\left(10\right),\]где $\overline{P}$ - суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (10) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.
Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Запишите координаты центра масс системы из трех шариков, которые находятся в вершинах и центра равностороннего треугольника, сторона которого равна $b\ (м)$ (рис.2).
Решение. Для решения задачи используем выражения, определяющие координаты центра масс:
\[x_c=\frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+m_4x_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(2.1);;\] \[y_c=\frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+m_4y_4}{m_1+m_2+m_3+m_4}(2.2).\]Из рис.2 мы видим, что абсциссы точек:
\[\left\{ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{b}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{b}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b. \end{array} \right.\left(2.3\right).\]Тогда абсцисса центра масса равна:
\[x_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{b}{2}+m\cdot \frac{b}{2}+4m\cdot b}{2m+3m+m+4m}=\frac{6mb}{10m}=0,6b\ (м);;\]Найдем ординаты точек.
\[ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{b\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{b\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array} \left(2.4\right).\]Для нахождения ординаты $y_2$ вычислим, чему равна высота в равностороннем треугольнике:
\[h=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{4}}=\frac{b\sqrt{3}}{2}=y_2\left(2.5\right).\]Ординату $y_3$ найдем, помня, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, получаем:
\[y_3=h\cdot \frac{1}{3}=\frac{b\sqrt{3}}{6}\ \left(2.6\right).\]Вычислим ординату центра масс:
\[y_c=\frac{2m\cdot 0+3m\cdot \frac{b\sqrt{3}}{2}+m\cdot \frac{b\sqrt{3}}{6}+4m\cdot 0}{2m+3m+m+4m}=\frac{10m\frac{b\sqrt{3}}{6}}{10m}=\frac{b\sqrt{3}\ }{6}(м).\]Ответ. $x_c=0,6b\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{b\sqrt{3}\ }{6}$ м
Пример 2
Задание. Запишите закон движения центра масс.
Решение. Закон изменения импульса системы частиц является законом движения центра масс. Из формулы:
\[{\overline{v}}_c=\frac{\overline{P}}{M}\to \overline{P}=M{\overline{v}}_c\left(2.1\right)\]при постоянной массе $M$ продифференцировав обе части выражения (2.1), получим:
\[\frac{d\overline{P}}{dt}=M\frac{d{\overline{v}}_c}{dt}\left(2.2\right).\]Выражение (2.2) означает, что скорость изменения импульса системы равняется произведению массы системы на ускорение ее центра масс. Так как
\[\frac{d\overline{P}}{dt}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i\left(2.3\right),}\]имеем:
\[M\frac{d{\overline{v}}_c}{dt}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i\left(2.4\right).}\]В соответствии с выражением (2.4) получаем, что центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы M, если на нее действует сила, равная сумме всех внешних сил, действующих на частицы, которые входят в рассматриваемую систему. Если $\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0,}$ то центр масс движется равномерно и прямолинейно.
Читать дальше: центр тяжести.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
