Точку, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, оказывающих воздействие на элементы тела при любом расположении тела в пространстве, называют центром тяжести.
Центр тяжести
Особенностью центра тяжести является то, что эта сила, действует на тело не в какой - то одной точке, а распределена по всему объему тела. Силы тяжести, которые действуют на отдельные элементы тела (которые можно считать материальными точками), направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.
Определение центра тяжести
Определение
Иначе говоря: центр тяжести - это точка, к которой приложена сила тяжести при любом положении тела в пространстве. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что сила тяжести - это одна сила, и она приложена в центре тяжести.
Задача нахождение центра тяжести является значимой задачей в технике, поскольку от положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.
Метод нахождения центра тяжести тела
Определяя положение центра тяжести тела сложной формы можно сначала мысленно разбить тело на части простой формы и найти центы тяжести для них. Для тел простой формы можно сразу определить центр тяжести из соображений симметрии. Сила тяжести однородных диска и шара находится в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т,д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например кольцо.
Выясним расположение центров тяжести частей тела, находят место расположения центра тяжести тела в целом. Для этого тело представляют в виде совокупности материальных точек. Каждая такая точка находится в центре тяжести своей части тела и обладает массой этой части.
Координаты центра тяжести
В трехмерном пространстве координаты точки приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести (координаты центра тяжести), для твердого тела вычисляются как:
\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\ z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array} \right.\left(1\right),\]где $m$ - масса тела.$;;x_i$ - координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ - координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ - координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.
В векторной записи система из трех уравнений (1) записывается как:
\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]${\overline{r}}_c$ - радиус - вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ - радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.
Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела
Формула (2) совпадает с выражениями, определяющими центр масс тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.
Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, перемещающейся поступательно приложена к центру тяжести тела.
Но следует учитывать, что центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.1) каковы координаты ее центра тяжести?
Решение. Рассмотрим рис.1. Центр тяжести будет иметь в этом случае одну координату $x_c$, которую определим как:
\[x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m}\ \left(1.1\right).\]Масса тела в нашем случае равна:
\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]Числитель дроби в правой части выражения (1.1) в случае (1(а)) принимает вид:
\[\sum\limits_{i=4}{\Delta m_ix_i=m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 2a+4m\cdot 3a=20m\cdot a}.\]Получаем:
\[x_c=\frac{20m\cdot a}{10m}=2a.\]Ответ. $x_c=2a;$
Пример 2
Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.2) каковы координаты ее центра тяжести?
Решение. Рассмотрим рис.2. Центр тяжести системы находится на плоскости, следовательно, он имеет две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их по формулам:
\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_с=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m}. \end{array} \right.\]Масса системы:
\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]Найдем координату $x_c$:
\[x_c=\frac{0\cdot 4m+3m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,5\ a.\]Координата $y_с$:
\[y_с=\frac{0\cdot m+m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,3\ a.\]Ответ. $x_c=0,5\ a$; $y_с=0,3\ a$
Читать дальше: центростремительное ускорение при движении по окружности.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
