Центр тяжести, теория и онлайн калькуляторы

Центр тяжести

Особенностью центра тяжести является то, что эта сила, действует на тело не в какой - то одной точке, а распределена по всему объему тела. Силы тяжести, которые действуют на отдельные элементы тела (которые можно считать материальными точками), направлены к центру Земли и не являются строго параллельными. Но так как размеры большинства тел на Земле много меньше ее радиуса, поэтому эти силы считают параллельными.

Определение центра тяжести

Определение

Точку, через которую проходит равнодействующая всех параллельных сил тяжести, оказывающих воздействие на элементы тела при любом расположении тела в пространстве, называют центром тяжести.

Иначе говоря: центр тяжести - это точка, к которой приложена сила тяжести при любом положении тела в пространстве. Если известно положение центра тяжести, то можно считать, что сила тяжести - это одна сила, и она приложена в центре тяжести.

Задача нахождение центра тяжести является значимой задачей в технике, поскольку от положения центра тяжести зависит устойчивость всех конструкций.

Метод нахождения центра тяжести тела

Определяя положение центра тяжести тела сложной формы можно сначала мысленно разбить тело на части простой формы и найти центы тяжести для них. Для тел простой формы можно сразу определить центр тяжести из соображений симметрии. Сила тяжести однородных диска и шара находится в их центре, однородного цилиндра в точке на середине его оси; однородного параллелепипеда на пересечении его диагоналей и т,д. У всех однородных тел центр тяжести совпадает с центром симметрии. Центр тяжести может находиться вне тела, например кольцо.

Выясним расположение центров тяжести частей тела, находят место расположения центра тяжести тела в целом. Для этого тело представляют в виде совокупности материальных точек. Каждая такая точка находится в центре тяжести своей части тела и обладает массой этой части.

Координаты центра тяжести

В трехмерном пространстве координаты точки приложения равнодействующей всех параллельных сил тяжести (координаты центра тяжести), для твердого тела вычисляются как:

\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m};; \\ z_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iz_i}}{m} \end{array} \right.\left(1\right),\]

где $m$ - масса тела.$;;x_i$ - координата на оси X элементарной массы $\Delta m_i$; $y_i$ - координата на оси Y элементарной массы $\Delta m_i$; ; $z_i$ - координата на оси Z элементарной массы $\Delta m_i$.

В векторной записи система из трех уравнений (1) записывается как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{1}{m}\sum\limits_i{m_i{\overline{r}}_i\left(2\right),}\]

${\overline{r}}_c$ - радиус - вектор, определяющий положение центра тяжести; ${\overline{r}}_i$ - радиус-векторы, которые определяют положения элементарных масс.

Центр тяжести, центр масс и центр инерции тела

Формула (2) совпадает с выражениями, определяющими центр масс тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Сила инерции в неинерциальных системах отсчета, перемещающейся поступательно приложена к центру тяжести тела.

Но следует учитывать, что центробежная сила инерции (в общем случае) не приложена к центру тяжести, поскольку в неинерциальной системе отсчета на элементы тела действуют разные центробежные силы инерции (даже если массы элементов равны), так как расстояния до оси вращения разные.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.1) каковы координаты ее центра тяжести?

Центр тяжести, пример 1

Решение. Рассмотрим рис.1. Центр тяжести будет иметь в этом случае одну координату $x_c$, которую определим как:

\[x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m}\ \left(1.1\right).\]

Масса тела в нашем случае равна:

\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]

Числитель дроби в правой части выражения (1.1) в случае (1(а)) принимает вид:

\[\sum\limits_{i=4}{\Delta m_ix_i=m\cdot 0+2m\cdot a+3m\cdot 2a+4m\cdot 3a=20m\cdot a}.\]

Получаем:

\[x_c=\frac{20m\cdot a}{10m}=2a.\]

Ответ. $x_c=2a;$

   
Пример 2

Задание. Система составлена из четырех маленьких шариков (рис.2) каковы координаты ее центра тяжести?

Центр тяжести, рисунок 2

Решение. Рассмотрим рис.2. Центр тяжести системы находится на плоскости, следовательно, он имеет две координаты ($x_c,y_c$). Найдем их по формулам:

\[\left\{ \begin{array}{c} x_c=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_ix_i}}{m};; \\ y_с=\frac{\sum\limits_i{\Delta m_iy_i}}{m}. \end{array} \right.\]

Масса системы:

\[m=m+2m+3m+4m=10\ m.\]

Найдем координату $x_c$:

\[x_c=\frac{0\cdot 4m+3m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,5\ a.\]

Координата $y_с$:

\[y_с=\frac{0\cdot m+m\cdot a+2m\cdot a}{10m}=0,3\ a.\]

Ответ. $x_c=0,5\ a$; $y_с=0,3\ a$

   

Читать дальше: центростремительное ускорение при движении по окружности.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 471 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!