Повторяющиеся движения или процессы называют колебаниями. Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.
Период колебаний математического маятника
Характеристики гармонических колебаний
Определение
Самым простым для описания видом колебаний являются гармонические колебания.
Определение
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых переменная величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания некоторого параметра $s$, тогда они описываются уравнением:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $s$ лежит в пределах $-A\le s\le $+A.
Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(2\right).\]Разные процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника. Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.
Математический маятник и период его колебания
Определение
Математическим маятником называют физический маятник, вся масса которого сосредоточена в одной точке, центре масс маятника.
Чаще всего математический маятник рассматривают как шарик, который подвешен на длинной невесомой и нерастяжимой нити. Это идеализированная система, совершающая колебания под действием силы тяжести. Хорошим приближением к математическому маятнику считают тяжелый маленький шарик, совершающий колебания на тонкой длинной нити.
Первым, свойства математического маятника изучал Галилей, рассматривая качание паникадила на длинной цепи. Галилей установил, что период колебаний математического маятника не зависит от амплитуды. Если при запуске мятника отклонять его на разные малые углы, то его колебания будет происходить с одним периодом, но разными амплитудами. Это свойство получило название изохронизма.
Если длина маятника постоянна, но изменяются массы грузов, прикрепленных к подвесу, то период колебаний маятника не изменится. Период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.
Формула для периода колебаний математического маятника
Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности с ускорением, под воздействием некоторой возвращающей силы, которая изменяется при его движении. Сила непостоянная, из-за чего расчет движения может приводить к значительным сложностям. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник реализует не колебания в плоскости, а описывает конус (рис.1), при этом груз движется по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника равен времени, которое затрачивает груз на один оборот по окружности:
\[T=\frac{l}{v}=\frac{2\pi R}{v}\left(3\right),\]где $l$ - длина окружности; $v$ - скорость движения груза по окружности. В случае небольших углов отклонения нити от вертикали (малые амплитуды) можно полагать, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
\[F_1=\frac{mv^2}{R}\left(4\right).\]С другой стороны рис.1:
\[F_1=mg{\sin \alpha =mg\frac{R}{l}\ }\left(5\right).\]Приравниваем правые части выражений (4), выражаем скорость движения груза:
\[\frac{mv^2}{R}=mg\frac{R}{l}\ \to v=R\sqrt{\frac{g}{l}}\left(6\right).\]Полученную скорость подставим в формулу (3), имеем:
\[T=\frac{2\pi R}{R\sqrt{\frac{g}{l}}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(7\right).\]Мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения.
Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения дает основания для точного практического определения этого ускорения.
Единицей измерения периода служит единица времени - секунда:
\[\left[T\right]=c.\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Каков период математического маятника, если точка его подвеса движется горизонтально с ускорением $a=2,5\ \frac{м}{с^2}$, длина нити этого маятника равна $l=0,5\ $м?
Решение. Сделаем рисунок.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением можно найти как:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{a_p}}\left(1.1\right),\]где из рис.2 видно, что модуль ускорения $a_p$ равен:
\[a_p=\sqrt{g^2+a^2}\left(1.2\right).\]Подставим правую часть формулы (1.2) вместо соответствующего ускорения в (1.1), имеем:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2+a^2}}}\left(1.3\right).\]Вычислим период этого маятника:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{0,5}{\sqrt{{9,8}^2+{2,5}^2}}}\approx 1,4\ (с)\]
Пример 2
Заданиею Чему равен период математического маятника, если в первом примере точка его подвеса движется в горизонтальном направлении равномерно?
Решениею В этом случае, период математического маятника вычисляем по формуле:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\left(2.1\right).\]Вычислим период:
\[T=2\pi \sqrt{\frac{0,5}{9,8}}\approx 1,42\ (с)\left(1.1\right)\]Ответ. $T=1,42\ с$
Читать дальше: период колебания пружинного маятника.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
