• Главная
• Справочник
• Физика

Механические волны

При распространении волн частицы среды не перемещаются вместе с волной, а совершают колебания у своих положений равновесия. С волной среде передаются только состояния колебательного движения, энергия и импульс. Если волна переносит энергию, то она называется бегущей.

Основное свойство волн, не связанное с их природой - это передача энергии (ее перенос) без переноса вещества.

В зависимости от направления колебаний частиц говорят о поляризации волны: механические волны делят на продольные и поперечные.

Продольные волны характеризуются тем, что в них частицы вещества совершают колебания в том в направлении, в котором распространяется волна. В поперечных волнах колебания частиц происходят в плоскостях нормальных к направлению, в котором распространяется волна. Продольные волны способны появляться в любых телах (твердых, жидкостях, газах). Поперечные волны распространяются только в средах, где возможны деформации сдвига. Это твердые тела.

Гармонические механические волны

Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, которая распространяется в бесконечной натянутой струне. Монохроматическая волна в струне описывается выражением:

\[\xi \left(t,z\right)=A{\cos \omega \left(t-\frac{z}{v}\right)\left(1\right),\ }\]

где $\xi \left(t,z\right)$ - смещение частицы струны из положения равновесия; $z$ - расстояние частицы струны от ее начала, характеризующая равновесное положение элемента струны; $v$ - скорость распространения колебаний. Уравнение (1) называют уравнением бегущей волны.

Если в выражении (1) рассматривать определенный элемент струны, то функция $\xi \left(t,z\right)$ будет показывать смещение избранного элемента в зависимости от времени. Данное смещение является гармоническим колебанием с частотой $\omega $ и амплитудой A:

\[\xi \left(t,z\right)=A{\cos \left(\omega t+\varphi \right)\left(2\right),\ }\]

где начальная фаза колебаний элемента струны $\varphi =-\frac{\omega }{v}z$ зависит от равновесного положения z. Все элементы струны, если по ней проходит монохроматическая волна выполняют гармонические колебания с одинаковыми частотами и амплитудами, но разными фазами.

Длина механической волны

Рассмотрим струну целиком в один момент времени (зафиксируем время в выражении (1)). При этом функция $\xi \left(t,z\right)$ будет давать мгновенную картину смещений частичек струны. На этой картине можно увидеть фиксированную косинусоиду. Расстояние между соседними максимумами или минимумами этой кривой называют длиной волны ($\lambda $).

Длина волны связана с частотой и скоростью волны:

\[\lambda =\frac{2\pi v}{\omega }=vT=\frac{v}{\nu }\left(3\right),\]

где $T$ - период колебаний. Длина волны равна расстоянию распространения определенной фазы колебаний за один период.

Плоские и сферические волны

При детальном рассмотрении волн, очевидно, что колебания осуществляют не только частицы вдоль одной оси, происходят колебания совокупности частиц, которые находятся в некотором объеме. Волна при ее распространении охватывает новые области пространства.

Геометрическое место точек, до которых распространились колебания за время $t$, называют фронтом волны. Волновой поверхностью считают геометрическое место точек, совершающих колебания в одной фазе. Волновых поверхностей бесконечное множество. Волновой фронт - это тоже волновая поверхность, единственная в каждый момент времени. Волновые поверхности имеют любые формы. В самом простом случае - это система параллельных плоскостей иди концентрических сфер.

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют собой совокупность параллельных плоскостей. Уравнение (1) является уравнением плоской бегущей волны. Если плоская волна будет распространяться в противоположном направлении, то ее уравнение:

\[\xi \left(t,z\right)=A{\cos \omega \left(t+\frac{z}{v}\right)\left(4\right).\ }\]

В общем случае при распространении волны по оси Z в веществе, которое не поглощает энергию можно записать как:

\[\xi \left(t,z\right)=A{\cos \left[\omega \left(t-\frac{z}{v}\right)+{\varphi }_0\right]\left(5\right),\ }\]

где $A=const$ - амплитуда волны; $\omega $ - циклическая частота волны; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний, которую определяет начало отсчета $z\ и\ t$; $\left[\omega \left(t-\frac{z}{v}\right)+{\varphi }_0\right]$ - фаза плоской волны.

Величину $k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}$ называют волновым числом. Используя его уравнение (5) записывают в виде:

\[\xi \left(t,z\right)=A{cos \left[\omega t-kz+{\varphi }_0\right]\left(6\right).\ }\]

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности - это система концентрических сфер. Уравнение сферической волны:

\[\xi \left(t,z\right)=\frac{A_0}{r}\ {cos \left[щt-kz+ц_0\right]\left(7\right),\ }\]

где $r$ - расстояние от центра волны до точки рассмотрения в среде. При распространении сферической волны, даже если среда энергию не поглощает, то амплитуда волны убывает обратно пропорционально расстоянию от центра волны. Отметим, что уравнение (7) выполняется, только если расстояние от источника волн до точки рассмотрения, существенно больше, чем его размеры (то есть, если источник можно считать точечным).

Волновое уравнение

Волновое уравнение для однородной и изотропной среды в общем виде записывают как:

\[\frac{{\partial }^2\xi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\xi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\xi }{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}\frac{{\partial }^2\xi \ }{\partial t^2}\left(8\right).\]

Решением уравнения (8) является уравнение любой волны, то есть ему удовлетворяют уравнения и (6), и (7).

Примеры задач с механическими волнами

Читать дальше: период колебаний математического маятника.