Вынужденные колебания, теория и онлайн калькуляторы

Вынужденные колебания

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Определение

Колебания, которые возникают под действием периодически меняющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

\[F=F_0{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(1\right).\]

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

\[\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }^2_0x=\frac{F_0}{m}{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(2\right),\]

где $x$ - координата; $\delta $ - коэффициент затухания; ${\omega }_0$ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $\delta $=0, то ${\omega }_{0\ }$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

\[\ddot{q}+2\delta \dot{q}+{\omega }^2_0q=\frac{U_m}{L}{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(3\right),\]

где $q$ - заряд; $\delta =\frac{R}{2L}$ - коэффициент затухания; ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$; $U=U_m{\cos \left(\omega t\right)\ }$ - внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

\[\frac{d^2s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+{\omega }^2_0s=x_0{cos \left(\omega t\right)\ }\left(4\right),\]

где $s$ - колеблющийся параметр; $x_0=\frac{F_0}{m}$ если колебания механические ($x_0=\frac{U_m}{L}-\ в\ случае\ электрических\ колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

\[\frac{d^2s}{dt^2}+2\delta \frac{ds}{dt}+{\omega }^2_0s=0\ \left(5\right).\]

Его общее решение:

\[s_1=A_0e^{-\delta t}{cos \left({\omega }_1t+{\varphi }_1\right)\left(6\right),\ }\]

где $A_0$ - начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

\[s=A{\cos (\omega t-\varphi )\ }\left(7\right),\]

где $A=\frac{x_0}{\sqrt{{\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)}^2+4{\delta }^2{\omega }^2}} (8)$; $\varphi =arc\ tg\ \frac{2\delta \omega }{{\omega }^2_0-{\omega }^2} (9)$.

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $\omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $\omega $.

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(\omega )$. Взяв производную $\frac{dA}{d\omega }$ и приравняв ее к нулю получим:

\[-4\left({\omega }^2_0-{\omega }^2\right)\omega +8{\delta }^2\omega =0\ \left(10\right).\]

Равенство (10) справедливо при:

\[\left\{ \begin{array}{c} {\omega }_1=0;; \\ {\omega }_2=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2;;} \\ {\omega }_3=-\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2.} \end{array} \right.\]

Получается, что резонансная частота (${\omega }_r$) равна:

\[{\omega }_r=\sqrt{{\omega }^2_0-2{\delta }^2}\left(11\right).\]

При ${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний ${\omega }_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

\[A_r=\frac{x_0}{2\delta \sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}\left(12\right).\]

При небольшом затухании колебаний (если ${\delta }^2\ll {\omega }^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

\[A_r=\frac{x_0}{2\delta {\omega }_0}=Q\frac{x_0}{{\omega }^2_0}\left(13\right),\]

где $Q=\frac{{\omega }_0}{2\delta }$ - добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Какова добротность колебательного контура, представленного на рис.1?

Вынужденные колебания, пример 1

Решение. Добротность электрического колебательного контура найдем как:

\[Q=\frac{{\omega }_0}{2\delta }\ \left(1.1\right).\]

При этом собственная частота колебаний в таком контуре равна:

\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(1.2\right).\]

коэффициент затухания находим как:

\[\delta =\frac{R}{2L}\left(1.3\right).\]

Подставляет правые части выражений (1.2) (1.3) вместо соответствующих величин в (1.1), в результате, добротность представленного на рис. 1 контура найдем при помощи формулы:

\[Q=\frac{1}{2\sqrt{LC}}\cdot \frac{2L}{R}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}.\]

Вычислим добротность:

\[Q=\frac{1}{1}\sqrt{\frac{2\cdot {10}^{-3}}{2\cdot {10}^{-5}}}=10.\]

Ответ. $Q=10$

Пример 2

Задание. Пружинный маятник выполняет вынужденные колебания в вязком веществе. Масса груза на пружине равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Коэффициент сопротивления среды равен $r$. Систему заставляет совершать колебания сила $F={\cos \left(\omega t\right)(Н).\ \ \ }$Чему равна резонансная амплитуда заданных колебаний ($A_r$)?

Решение. Допустим, что груз совершает колебания вдоль прямой X, тогда уравнением данных механических колебаний будет выражение:

\[\ddot{x}+2\delta \dot{x}+{\omega }^2_0x=\frac{F_0}{m}{\cos \left(\omega t\right)\ }\left(2.1\right),\]

где коэффициент затухания равен $\delta =\frac{r}{2m}$. Из функции, которая задает вынуждающую силу:

\[F={\cos \left(\omega t\right)(2.2)\ \ \ }\]

мы видим, что амплитуда силы равна единице:

\[F_0=1\ \left(Н\right).\]

Собственная частота колебаний груза на пружине:

\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\to {\omega }^2_0=\frac{k}{m}\left(2.3\right).\]

Амплитуда при резонансе таких колебаний равна:

\[A_r=\frac{\frac{F_0}{m}}{2\delta \sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}}=\frac{F_0}{2(\frac{r}{2m})m\sqrt{\frac{k}{m}-{(\frac{r}{2m})}^2}}=\frac{F_0}{r\sqrt{\frac{k}{m}-{(\frac{r}{2m})}^2}}.\]

Ответ. $A_r=\frac{F_0}{r\sqrt{\frac{k}{m}-{(\frac{r}{2m})}^2}}$

Читать дальше: гидростатическое давление.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 472 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!