Моментом силы ($\overline{M}$) называют векторную физическую величину, которая равна векторному произведению радиус - вектора, который проведен от оси вращения до точки приложения силы $\overline{F}$ на вектор этой силы:
\[\overline{M}=\overline{r}\times \overline{F\ }\left(5\right).\]Момент силы
Пусть тело вращается около неподвижной оси под действием силы $\overline{F}$. Элементарная работа ($\Delta A$), которую совершает данная сила при повороте тела на малый угол $\Delta \varphi ,$ равна:
\[\Delta A=F_r\Delta l\ \left(1\right),\]где $F_r=F{\sin \alpha \ }$, $\alpha $ - угол между направлением силы и направлением радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы; $\Delta l=r\Delta \varphi $. Соответственно выражение (1) преобразуется к виду:
\[\Delta A=F{\sin \alpha \ }r\Delta \varphi \ \left(2\right).\]Величину:
\[M=Fr{\sin \alpha \ }\ (3)\]называют моментом силы относительно оси вращения. Самое короткое расстояние от оси вращения до линии действия силы $d=r{sin \alpha \ }$ называют плечом силы, тогда:
\[M=Fd\ \left(4\right).\]Момент силы - это векторная величина. $\overline{M}\ $направлен по оси вращения тела. Направление момента силы определяют при помощи правила правого винта: если головку винта с правой резьбой вращать по направлению силы, то поступательное перемещение винта указывает на направление вектора момента силы.
Определение момента силы
Определение
Ньютон, умноженный на метр (ньютон - метр) (Н$\cdot $м) - единицы измерения момента силы в Международной системе единиц (СИ).
Условие равновесия тела, имеющего ось вращения
Пусть на тело, способное вращаться вокруг оси действуют несколько сил, например, ${\overline{F}}_1,\ {\overline{F}}_2,{\overline{F}}_3$. Если тело находится в равновесии, то при повороте на бесконечно малый угол $\Delta \varphi $ его потенциальная энергия не изменится, значит, элементарная работа, равная изменению потенциальной энергии равна нулю, но:
\[\Delta A=F{\sin \alpha \ }r\Delta \varphi =M\Delta \varphi =\Delta A_1+\Delta A_2+\Delta A_3=M_1\Delta \varphi +M_2\Delta \varphi +M_3\Delta \varphi ={(M}_1+M_2+M_3)\Delta \varphi =0\ \left(6\right),\]так как $\Delta \varphi \ne 0$, то
\[M_1+M_2+M_3=0\left(7\right).\]Тело, имеющее ось вращения, находится в состоянии равновесия, если алгебраическая сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю.
Основной закон динамики вращательного движения
Рассмотрим вращение твердого тела около неподвижной оси. Работа внешних сил ($dA$), приложенных к телу, идет на увеличение кинетической энергии ($dE_k$) этого тела:
\[dA=dE_k\left(8\right).\]Изменение кинетической энергии вращающегося тела можно представить как:
\[dE_k=d\left(\frac{J{\omega }^2}{2}\right)=J\omega d\omega \ \left(9\right),\]где $J$ - момент инерции тела относительно неподвижной оси; $\omega $ - угловая скорость тела.
Но элементарную работу при повороте тела на малый угол $d\varphi $ определяют как:
\[dA=Md\varphi \ \left(10\right),\]следовательно, из (8)-(10) получим:
\[Md\varphi =J \omega d \omega\to M\frac{d\varphi }{dt}=J \omega\frac{d \omega}{dt}\ \left(11\right).\]Принимая во внимание то, что:
\[\frac{d\varphi }{dt}=\omega;\ \frac{d \omega }{dt}=\varepsilon (12)\]формулу (11) представим в виде:
\[M=J\varepsilon \ \left(13\right),\]где $\varepsilon $ - угловое ускорение. Уравнение (13) - основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, которая проходит через центр масс тела, то закон (13) можно записать в виде:
\[\overline{M}=J\overline{\varepsilon }\left(14\right),\]где $J$ - главный момент инерции тела.
Другой формой записи основного уравнения динамики для вращающегося твердого тела является уравнение:
\[\overline{M}=\frac{d\overline{L}}{dt}\left(15\right),\]где $\overline{L}$ - момент импульса. Отметим, что в основном законе динамики вращающегося тела речь идет (в левой части уравнений) о сумме моментов внешних сил. Сумма моментов внутренних сил всегда равна нулю, это следует из третьего закона Ньютона.
Примеры задач с моментом силы
Пример 1
Задание. Материальная точка вращается по окружности так, что ее центростремительное ускорение изменяет пропорционально четвертой степени времени ($a_n\sim t^4$). Чему равно $n$ в соотношении: $M\sim t^n$ (где $M$- момент силы, действующий на точку относительно центра вращения)?
Решение. За основу решения задачи примем основной закон динамики вращательного движения в виде:
\[M=J\frac{d\omega }{dt}\ \left(1.1\right),\]где момент инерции ($J$) материальной точки не зависит от времени. Центростремительное ускорение можно определить как:
\[a_n={\omega }^2R\ \left(1.2\right).\]Из формулы (1.2) выразим угловую скорость ($\omega $):
\[\omega =\sqrt{\frac{a_n}{R}}\ \left(1.3\right).\]Так как точка движется по окружности ($R=const$), учитывая условие задачи: $a_n\sim t^4\ и\ (1.3)$, получим:
\[\omega \sim t^2\left(1.4\right).\]Тогда имеем:
\[\frac{d\omega }{dt}\sim t\to M\sim t.\]Ответ. Так как $M\sim t$, следовательно, $n=1$
Пример 2
Задание. Одно и то же твердое тело вращается. В первый раз под действием момента сил, которые представляет график 1 (рис.1), во второй раз момент сил изменяется в соответствии с графиком 2 (рис.1). Сравните угловые скорости, которые тело приобретает по окончании действия моментов сил (для первого случая в точке A, второго в точке B).
Решение. В качестве основы для решения задачи используем основной закон динамики вращательного движения в виде:
\[M=J\frac{d\omega }{dt}\ \left(2.1\right).\]Выразим угловую скорость из (2.1), получим:
\[\omega =\frac{1}{J}\int\limits^{t_2}_{t_1}{Mdt\ \left(2.2\right).}\]В первом и втором случае речь идет об одном и том же теле, следовательно, величина $\frac{1}{J}$ не изменяется. Из геометрического смысла интеграла $\int\limits^{t_2}_{t_1}{Mdt-}$это площади криволинейных трапеций. В нашем случае получились прямоугольные треугольники. Найдем их площади:
\[S_{{\Delta }_1}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 5=5.\] \[S_{{\Delta }_2}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 10=5.\]Получили, что:
\[S_{{\Delta }_1}=S_{{\Delta }_2}\left(2.3\right).\]Значит,${\omega }_1={\omega }_2.$
Ответ. ${\omega }_1={\omega }_2$
Читать дальше: сила Архимеда.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
