• Главная
• Справочник
• Физика

Кинетическая и потенциальная энергия

Одним из основных понятий в физике является понятие энергии. Закон сохранения энергии это основной закон природы. С его помощью приходит понимание как происходят многие механические, тепловые и электрические явлений. Понятие «энергия» является базовым в огромном количестве технических задач, так как важная задача техники заключается в получении, передаче и использовании энергии.

Кинетическая энергия - энергия движения

При воздействии силы ($\overline{F}$) на тело, находящееся в состоянии покоя, тело приводится в движение. При этом сила совершает работу, энергия тела увеличивается на величину произведенной работы:

\[dA=dE_k\left(1\right),\]

где $dA$ - элементарная работа силы над телом; $dE_k$ - малое изменение кинетической энергии тела.

Запишем второй закон Ньютона для материальной точки, на которую действует сила $\overline{F}$ в виде:

\[\overline{F}=m\frac{d\overline{v}}{dt\ }\left(2\right).\]

Умножим обе части выражения (2) на перемещение, которое совершает тело при действии силы $\overline{F}:$

\[\overline{F}\cdot d\overline{s}=m\frac{d\overline{v}}{dt\ }\cdot d\overline{s}\ \left(3\right).\]

В левой части формулы (3) мы получили элементарную работу ($dA$):

\[dA=m\frac{d\overline{v}}{dt\ }•d\overline{s}\ \left(4\right).\]

Учитывая, что $\frac{d\overline{s}}{dt}=\overline{v}$ выражение (4) можно представить как:

\[dA=m\ \overline{v}\ d\overline{v}\left(5\right).\]

Примем во внимание равенство (1), получаем:

\[dE_k=m\ \overline{v}\ d\overline{v}=mvdv\left(6\right).\]

Интегрируем правую и левую части уравнения (6), имеем:

\[E_k=\int\limits^v_0{m\ v\ dv=\frac{mv^2}{2}}\left(7\right).\]

Мы получили, что тело имеющее массу $m$, движущееся со скоростью $v$ имеет кинетическую энергию равную:

\[E_k=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}\left(8\right).\]

где $p$ - импульс тела. Формула (8) является приближенной, но в практических расчетах она дает достаточную точность. Так, при скоростях в сотни километров вычисления по формуле (8) дают погрешность (в сравнении с вычислениями по релятивистским формулам) в десятитысячную долю процента.

Релятивистское определение кинетической энергии

Кинетической энергией тела ($E_k$) называют разность между его полной энергией ($W$) и энергией покоя ($E_0$):

\[E_k=W-E_0=mc^2\left(G-1\right)\left(9\right),\]

где $W$ - полная энергия изолированного тела.

\[W=Gmc^{2\ }\left(10\right),\]

$c$- скорость света; $G=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ ($v-$скорость движения тела по отношению к избранной инерциальной системе отсчета); $m$ - масса покоя тела.

Для вычислений кинетической энергии используют ее определение в другом виде. Чтобы его получить умножим выражение (9) на $\frac{G+1}{G+1}$:

\[E_k=mc^2\left(G-1\right)\frac{G+1}{G+1}=\frac{mv^2}{\frac{1}{G}+\frac{1}{G^2}}.\]

И так, мы получили, что при скорости движения тела близкой к скорости света:

\[E_k=\frac{mv^2}{\frac{1}{G}+\frac{1}{G^2}}(11).\]

Если тело движется со скоростью много меньше, чем скорость света, то кинетическая энергия существенно меньше энергии покоя.

\[\frac{E_k}{E_0}=\frac{v^2}{2c^2}\ll 1.\]

При скоростях близких к скорости света почти вся энергия тела сводится к его кинетической энергии, в этом случае энергия покоя значительно меньше кинетической. Для ультрарелятивистских скоростей можно пользоваться выражением:

\[E_k\approx W=Gmc^2\left(12\right).\]

Потенциальная энергия - энергия взаимодействия

Работа ($A$) консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы тел находящихся во взаимодействии:

\[A=E_{p1}-E_{p2}\left(13\right).\]

Потенциальную энергию можно вычислить с точностью до произвольной постоянной величины.

В общем случае потенциальная сила, которая действует на тело в некоторой точке потенциального поля и потенциальная энергия тела связывает соотношение:

\[\overline{F}=-gradE_p=-\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}\overline{i}+\frac{\partial E_p}{\partial y}\overline{j}+\frac{\partial E_p}{\partial z}\overline{k}\right)\left(14\right),\]

где $\overline{i},\ \overline{j},\overline{k}$ - единичные векторы (орты). Если поле сил имеет сферическую симметрию, то выражение (7) можно преобразовать к виду:

\[F=-\frac{dE_p}{dr}\left(15\right).\]

Когда говорят о потенциальной энергии тела, всегда следует указывать, в каком поле находится это тело (с каким телом взаимодействует).

Примеры задач с решением

Читать дальше: кинетическая энергия.