Импульсом ($\overline{p}$) материальной точки называют векторную физическую величину, которая равна произведению массы ($m$) этой точки на скорость ($\overline{v}$) ее движения:
\[\overline{p}=m\overline{v}\left(1\right).\]Импульс тела
Импульс материальной точки
Определение
Импульс еще называют количеством движения. Из выражения (1), учитывая, что $m>0$ можно сказать: вектор $\overline{p}$ имеет такое же направление, как и вектор $\overline{v}$.
Понятие «импульс» ввел Р. Декарт в XVII веке. В те времена понятия массы еще не существовало, импульс определяли как величину тела, умноженную на скорость. Определение импульса уточнил И. Ньютон. Он использовал понятие массы, определяя импульс.
В Международной системе единиц (СИ) импульс измеряют в килограмм - метр в секунду ($\frac{кг\cdot м}{с}$):
\[\left[p\right]=\left[m\right]\left[v\right]=кг\cdot \frac{м}{с}.\]Импульс тела
Определение
Импульс тела (или системы материальных точек) равен:
\[\overline{p}=\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{v}}_i\left(2\right),}\]где $m_i$ - масса элемента тела (материальной тоски системы); ${\overline{v}}_i$ - скорость данного элемента тела; $N$ - число материальных точек, на которое разбито тело (материальных точек в системе).
Формула (2) свидетельствует о том, что импульс тела, как системы материальных точек равен векторной сумме импульсов всех элементов тела (материальных точек). Для того чтобы найти импульс тела его разбивают (мысленно) на части, которые можно считать материальными точками, вычисляют импульс каждой частички тела, проводят векторное суммирование всех полученных импульсов.
Второй закон Ньютона
Чаще всего второй закон Ньютона мы записываем как:
\[\overline{F}=m\overline{a}\left(3\right),\]где $\overline{F}$ - равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке; $\overline{a}$ - ускорение тела. Этот же закон можно представить иначе. Предположим, что на точку действует постоянная сила. В таком случае ускорение этой точки, также будет неизменным и его можно найти как:
\[\overline{a}=\frac{{\overline{v}}_2-{\overline{v}}_1}{\Delta t}\left(4\right),\]где ${\overline{v}}_2;{\overline{v}}_1$ - конечная и начальная скорости точки; $\Delta t$ - промежуток времени действия силы. Подставляя правую часть формулы (4) в закон Ньютона, получим:
\[\overline{F}=m\frac{{\overline{v}}_2-{\overline{v}}_1}{\Delta t}=\frac{m{\overline{v}}_2-m{\overline{v}}_1}{\Delta t}=\frac{{\overline{p}}_2-{\overline{p}}_1}{\Delta t}\left(5\right).\]И так, одной из форм записи второго закона Ньютона является выражение:
\[\overline{F}\Delta t=\Delta \overline{p}\left(6\right).\]Выражение (6) означает, что изменение импульса материальной точки прямо пропорционально силе, которая на нее воздействует и сонаправлено с этой силой. Величину $\overline{F}\Delta t$ называют импульсом силы. Из уравнения (6) следует, что равные изменения импульса точки могут быть получены в результате действия большой по модулю силы за маленький промежуток времени или воздействуя на точку небольшой силой длительное время.
Если сила является переменной величиной, то второй закон Ньютона, используя понятие «импульс» записывают, переходя к дифференциальной форме, то есть, рассматривая бесконечно малый промежуток времени действия этой силы:
\[\overline{F}=\frac{dp}{dt}\left(7\right).\]В таком случае импульс равен:
\[\Delta \overline{p}=\int\limits^{t_2}_{t_1}{\overline{F}dt}\left(8\right),\]где $\Delta \overline{p}$ - изменение импульса.
Импульс в теории относительности
Определение импульса материальной точки в теории относительности по форме не изменяется и аналогично выражению (1), однако в отличие от механики Ньютона масса, которая входит в формулу (1) - это не масса покоя, а релятивистская масса, то есть:
\[\overline{p}=m\overline{v}=\frac{m_{0\ }}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\overline{v}\left(9\right),\]где $m_{0\ }$ - масса покоя материальной точки.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Металлический шарик массой $m=$0,5 кг перемещается со скоростью $v=$10$\frac{м}{с}$ перпендикулярно стенке. Сталкивается с ней и останавливается. Какая сила действует при этом ударе на стенку, если время столкновения $t=$0,01 с
Решение. В качестве основы для решения задачи используем второй закон Ньютона, который запишем для движущегося шарика как:
\[\overline{F}=\frac{\Delta \overline{p}}{\Delta t}\left(1.1\right).\]Изменения импульса шарика в результате удара равно:
\[\Delta \overline{p}=0-m\overline{v}\left(1.2\right).\]В проекции на ось X получим:
\[\Delta p=mv\left(1.3\right).\]Тогда, сила, действующая на шарик при ударе равна:
\[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{mv}{\Delta t}\ \left(1.4\right).\]В соответствии с третьим законом Ньютона шарик действует на стенку с той же по модулю силой, что и стенка на шарик, следовательно, сила ($F'$), действующая на стенку равна:
\[F'=F=\frac{mv}{\Delta t}.\]Ответ. $F'=\frac{mv}{\Delta t}$
Пример 2
Задание. Металлический шарик массой $m$ катится по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость шара равна $v$. Шарик ударяется о стенку, перпендикулярную поверхности по которой двигался шарик. После соударения шарик упруго отскакивает от стенки и катится в направлении противоположном своему первоначальному движению с той же по величине скоростью. Какова сила ($F'$), действующая на стенку при ударе, если время соударения равно $\Delta t$. При решении задачи силу трения не учитывать, силу, действующую при ударе на стенку считать постоянной.
Решение. План решения задачи аналогичен примеру 1.
Применяем второй закон Ньютона в виде:
\[\overline{F}=\frac{\Delta \overline{p}}{\Delta t}\left(2.1\right).\]Изменения импульса шарика в результате удара равно:
\[\Delta \overline{p}=m{\overline{v}}_2-m{\overline{v}}_1\left(2.2\right).\]Проектируем выражение (2.2) на ось X, учитываем, что модуль скорости не изменился, получаем:
\[\Delta p=mv-\left(-mv\right)=2mv\left(2.3\right).\]Тогда, сила, действующая на шарик при ударе равна:
\[F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2mv}{\Delta t}\ \left(2.4\right).\]По третьему закону Ньютона шарик действует на стенку с той же по модулю силой, что и стенка на шарик, следовательно, сила ($F'$), действующая на стенку равна:
\[F'=F=\frac{2mv}{\Delta t}.\]Ответ. $F'=\frac{2mv}{\Delta t}$
Читать дальше: импульс.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
