Принцип (теорема) Бабине о свойствах дополнительных экранов является следствием гипотезы Френеля.
Принцип Бабине
Принцип (теорема) Бабине
Теорема
Принцип Бабине связывает дифракционные поля для некотого экрана с полями для дополнительных экранов. Допустим, что плоский и тонкий экран освещается точечным источником света. Обозначим через $E_{vh}$ поле падающей волны в точке плоскости с координатами $(x,y)$, которое получалось бы, на поверхности экрана; $E_{vih}$ - поле в этой же точке на задней поверхности экрана. Если пропускаемость экрана равна ${\alpha }_1$, то имеем соотношение:
\[E_{vih}={\alpha }_1E_{vh}\left(1\right),\]где ${\alpha }_1$ зависит от $(x,y)$, свойств экрана, но не зависит от напряженности поля волны. Тогда если имеется экран такой же формы можно предположить:
\[E_{vih}={\alpha }_2E_{vh}\left(2\right).\]Выше названные экраны называют дополнительными, если выполняется условие:
\[{\alpha }_1+{\alpha }_2=1\ \left(3\right).\]Примером дополнительных экранов могут служить два экрана, имеющих отверстия, если отверстия на одном экране совпадают с непрозрачными участками второго экрана.
Используя принцип Гюйгенса - Френеля поля волн в точке наблюдения (М) при существовании дополнительных экранов запишем:
\[{E_M}^{(1)}=\int{\frac{{\alpha }_1}{rr'}}E_{vh}e^{iФ}dS,\ {E_M}^{(2)}=\int{\frac{{\alpha }_2}{rr'}}E_{vh}e^{iФ}dS\left(4\right),\]где интегрирование проводится по всей поверхности экрана. $Ф=\omega t-k(r+r')$, знаменатель $rr'$ считают неизменным, поскольку размеры отверстия (рис.1) можно считать малыми по сравнению с $r\ и\ r'$, $dS\ $- элемент пощади экрана.
При суммировании выражений (3) и (4) получаем:
\[{E_M}^{(1)}+{E_M}^{(2)}=\int{\frac{1}{rr'}}E_{vh}e^{iФ}dS\left(5\right),\]где $\int{\frac{1}{rr'}}E_{vh}e^{iФ}dS=E_M\ $- поле световой волны в точке $M\ $при свободном распространении волны. Тогда уравнение (5) можно записать в виде:
\[{E_M}^{(1)}+{E_M}^{(2)}=E_M\left(6\right).\]Выражение (6) принцип Бабине в скалярном виде.
Рассмотри дифракцию Фраунгофера. Пусть на пути распространения параллельных лучей отсутствуют любые препятствия, тогда световое поле в фокальной плоскости линзы будет равно нулю всюду, за исключением фокуса. В таком случае по теореме Бабине (6) мы получим в каждой точке рассматриваемой плоскости (не в фокусе линзы) равенство:
\[{E_M}^{(1)}+{E_M}^{(2)}=0\left(7\right).\]Так как $I\sim {E_M}^2$ ($I$ - интенсивность света), то:
\[I_1=I_2\left(8\right).\]Равенство (8) означает, что картины дифракции при рассматриваемом явлении в фокальной плоскости линзы всюду одинаковые, исключением является фокус.
Теорема Бабине не является строгим утверждением, но ее нарушения являются существенными только у границ, рядом с которыми происходит дифракция. Представленная формулировка теоремы не всегда является удовлетворительной, так как она относится к скалярным полям и основана на приближении Кирхгофа.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Запишите соотношения между электрическим и магнитными полями плоской волны, падающей на тонкий, плоский идеально проводящий дифракционный экран в направлении отличном от направления падения, если источники создают поля: ${\overline{E}}_0,$ ${\overline{B}}_0$, дополнительная к ней дифракционная система состоит из источников, которые дают поля: ${\overline{E'}}_0=-{\overline{B}}_0$ и ${\overline{B'}}_0={\overline{E}}_0$ попадающие на дополнительный экран. Дифрагированные поля за экраном равны ${\overline{E}}_t,\ {\overline{B}}_t$ для основной системы и ${\overline{E}'}_t,\ {\overline{B'}}_t$ для дополнительной.
Решение. Следуя условиям задачи и согласно принципу Бабине можно записать следующие соотношения между полями, приведенными в условиях:
\[\left\{ \begin{array}{c} {\overline{E}}_t+{\overline{B}'}_t=-{\overline{E}}_0=-{\overline{B'}}_0 \\ {\overline{B}}_t-{\overline{E}'}_t=-{\overline{B}}_0={\overline{E'}}_0 \end{array} (1.1).\right.\]Данные соотношения являются векторным аналогом скалярного принципа Бабине. Для плоской волны, которая падает на дифракционный экран, получаем, что в направлениях, которые не совпадают с направлениями падения волны, интенсивности поля дифракции для экрана и его дополнений одинаковы. При этом сами поля связывают соотношения:
\[\left\{ \begin{array}{c} {\overline{E}}_t=-{\overline{B}'}_t \\ {\overline{B}}_t={\overline{E}'}_t \end{array} \right.\left(1.2\right).\]
Пример 2
Задание. Приведите пример, в котором следует использовать строгую векторную формулировку принципа Бабине.
Решение. Векторную формулировку часто применяют при решении микроволновых задач. Допустим, имеется узкая щель, сделанная в проводящей пластине, которую можно считать бесконечной. На пластину падает волна, имеющая магнитное поле, направленное вдоль щели (рис.2 (a)), тогда электрическое поле направлено перпендикулярно щели. Эквивалентные излучающие системы указаны на рис.2 (а) и 2 (b). Диаграмма излучения рассматриваемой нами щели будет эквивалентна диаграмме излучения тонкой линейной антенны, у которой электрическое поле направлено по антенне. При этом поляризация излучения в рассматриваемых нами системах различна: вектору $\overline{E}$ одной системы соответствует вектор $\overline{B'}$ и наоборот.
Читать дальше: свободные и связанные заряды.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
