Зоны Френеля, векторная диаграмма. Теория и онлайн калькуляторы
Зоны Френеля, векторная диаграмма
Согласно исследованиям, которые проводил в своих работах Френель, в некоторых случаях амплитуда колебаний при интерференции волн может быть найдена алгебраическим или геометрическим суммированием.
Зоны Френеля
Допустим, что сферическая или плоская волна падает на непрозрачный экран, имеющий отверстие. Определим, распределение интенсивности света, которое получится позади экрана. Воспользуемся принципом Гюйгенса - Френеля, но сделаем два замечания:
- Будем считать, что непрозрачные элементы экрана не выступают, в качестве источников вторичных волн.
- Точки фронта волны являются источниками вторичных волн в отверстии экрана.
Будем считать точку М источником сферической волны, $S$ - фронт волны в некоторый момент времени $t\ $(рис.1).
Для нахождения интенсивности световой волны в точке $A$ разобьем поверхность волны на кольцевые зоны, такие, что расстояния от краев зоны до точки $A$ различались на половину длины волны ($\frac{\lambda }{2})$. Используя обозначения границ зон, соответствующих рис.1 ${(M}_0,\ M_1,\ M_2,\dots )\ $ сказанное выше, принимает вид:
\[\left\{ \begin{array}{c}
M_1A-M_0A=\frac{\lambda }{2}, \\
M_2A-M_1A=\frac{\lambda }{2}, \\
\dots \\
M_nA-M_{n-1}A=\frac{\lambda }{2} \end{array}
\right.\left(1\right).\]
Центральную зону называют нулевой ($M_0$). (Иногда центральную зону называют первой, тогда считают, что m=1,2,...).
Если кривизну сферического фронта волны обозначить как $R$, то радиусы зон Френеля ($r_m$) приближенно можно вычислить, применяя формулу:
\[r_m=\sqrt{\frac{l\cdot R\left(m+1\right)\lambda }{R+l}}\left(2\right),\]
где расстояние $l$ обозначено на рис.2.
Принимая во внимание формулу (2) площадь нулевой зоны можно вычислить как:
\[S_0=\pi r^2_0=\pi \frac{l\cdot R\lambda }{R+l}\left(3\right).\]
Легко показать, что площади всех остальных зон равны площади нулевой зоны. Обычно кривизной волновой поверхности пренебрегают, тогда площадь кольцевой зоны считают равной ее проекции на плоскость, которая перпендикулярна прямой $MA$ рис.2.
Амплитуда колебаний, которые возбуждают зоны Френеля в точке $A,$ создают монотонно убывающую последовательность. Фазы колебаний соседних зон различаются на $\pi $. В результате амплитуда в точке $A$ будет записываться:
\[E=E_1-E_2+E_3-E_4+\dots =\frac{E_1}{2}+\left(\frac{E_1}{2}-E_2+\frac{E_3}{2}\right)+\left(\frac{E_3}{2}-E_4+\frac{E_5}{2}\right)+\dots =\frac{E_1}{2}\left(4\right).\]
Формула (4) обозначает, что при свободном распространении волны волновое возмущение от всего фронта составляет половину, возмущения, создаваемого только первой зоной Френеля.
Векторная диаграмма
Результат, представленный формулой (4) имеет основное значение в векторных диаграммах метода зон Френеля.
Колебания кольцевых подзон (рис.1), которые они возбуждают в точке наблюдения, на векторной диаграмме изображают
при помощи векторов $\overline{A_0A_1},\ \overline{A_1A_2},\ \overline{A_2A_3},\ $ и т.д., которые образуют ломаную линию.
Длина вектора равна амплитуде колебаний. Угол задает начальную фазу. Колебания, которые возбуждают соседние подзоны, являются
векторной суммой этих векторов. При устремлении количества подзон к бесконечности, то ломаная линия перейдет в непрерывную спираль,
которая вьется около фокуса F. На данной спирали действие всего фронта волны представлено вектором $\overline{A_0F}$, который в
два раза короче вектора, определяющего действие первой зоны Френеля.
Примеры задач на векторную диаграмму и зоны Френеля
Пример 1
Задание. Каково расстояние от экрана до точки наблюдения ($a$), если отверстие в экране открывает $m$ зон Френеля? Длина волны монохроматического источника света составляет $\lambda $, источник света размещается на расстоянии $c$ от непрозрачного экрана, имеющего круглое отверстие радиуса $r$. Считайте, что $\lambda \ll c.$\textit{}
Решение. Положим, что центральная зона является первой.
Рассмотрим рис.4, из него следует, что:
\[r^2=c^2-{\left(c-a_m\right)}^2\left(1.1\right).\]
Принимая во внимание, что $\lambda \ll c$, значит:
\[\lambda \ll a\left(1.2\right).\]
Для $r^2$ мы можем записать (рис.4):
\[r^2={(a+m\frac{\lambda }{2})}^2-{\left(a+a_m\right)}^2\left(1.3\right).\]
Получим $a_m$, и $r^2$, считая, величину $\frac{a^2}{4{(c+b)}^2}m^2{\lambda }^2$малой, ей пренебрегаем, имеем:
\[a_m=\frac{am\lambda }{2(c+a)},\ r^2=\frac{ac}{a+c}m\lambda \left(1.4\right).\]
Из формулы (1.4) получим искомое расстояние:
\[a=\frac{cr^2}{cm\lambda -r^2}.\]
Ответ. $a=\frac{cr^2}{cm\lambda -r^2}$
Пример 2
Задание. Рассмотрите дифракцию на круглом отверстии в непрозрачном экране. Явление исследуйте на линии, которая соединяет точку наблюдения ($A$) и центр круглого отверстия (рис.5).
Решение. Волна идет из точки $S$ и встречает на пути экран MN, имеющий круглое отверстие. Рассмотрим явление в точке $A$. Вспомогательная поверхность Френеля $\sigma $ касается экрана $MN$. Количество зон Френеля укладывающихся в отверстии зависит от его размера. Если отверстие маленькое можно учитывать ограниченное количество зон.
Схема дифракции на круглом отверстии изображена на рис.5. Зоны показаны для центральной точки поля.
Если отверстие открыло только одну зону Френеля или малое число нечетных зон, то действие волны в точке наблюдения больше, чем при отсутствии экрана. Максимальное действие волны будет в точке А, если размер отверстия равен одну зону Френеля. Если отверстие открывает нечетное количество зон Френеля, то световое возбуждение в точке A меньше, чем при свободном распространении волны света. Минимальная освещенность точки наблюдения соответствует двум открытым зонам. Векторные диаграммы действия первой зоны (вектор $\overline{OM}$) на рис. 6 (а), векторная диаграмма действия первой и второй зон - вектор $\overline{OM'}$.
Читать дальше: интерферометр Майкельсона.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 474 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
