Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока содержащих ЭДС
Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока содержащих ЭДС
Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии является общим законом природы, следовательно, он применим и к явлениям, происходящим в электричестве. При рассмотрении процессов превращения энергии в электрическом поле рассматривают два случая:
- Проводники присоединены к источникам ЭДС, при этом постоянными являются потенциалы проводников.
- Проводники являются изолированными, что означает: заряды проводников неизменны.
Мы будем рассматривать первый случай.
Допустим, что у нас имеется система, состоящая из проводников и диэлектриков. Эти тела совершают малые и очень медленные перемещения. Температура тел поддерживается постоянной ($T=const$), для этого тепло или отводят (если оно выделяется) или подводят (при поглощении тепла). Диэлектрики у нас являются изотропными и мало сжимаемыми (плотность постоянна ($\rho =const$)). При заданных условиях внутренняя энергия тел, которая не связана с электрическим полем, остается неизменной. Помимо этого, диэлектрическая проницаемость ($\varepsilon (\rho ,\ T)$), зависящая от плотности вещества и его температуры, может считаться постоянной.
На любое тело, помещенное в электрическое поле, действуют силы. Иногда такие силы называют пондемоторными силами поля. При бесконечно малом перемещении тел пондемоторные силы выполняют бесконечно малую работу, которую обозначим $\delta A$.
Закон сохранения энергии для цепей постоянного тока содержащих ЭДС
Электрическое поле имеет определённую энергию. При перемещении тел электрическое поле между ними изменяется, значит, изменяется его энергия. Увеличение энергии поля при малом смещении тел обозначим как $dW$.
Если в поле движутся проводники, то изменяется их взаимная емкость. Для сохранения без изменения потенциалов проводников на них следует добавлять (или убирать с них) заряды. В таком случае каждый источник тока совершает работу, равную:
\[\varepsilon dq=\varepsilon Idt\ \left(1\right),\]
где $\varepsilon$ - ЭДС источника; $I$ - сила тока; $dt$ - время перемещения. В исследуемой системе тел возникают электрические токи, соответственно во всех частях системы будет выделяться тепло ($\delta Q$), которое по закону Джоуля - Ленца равно:
\[\delta Q=RI^2dt\ \left(2\right).\]
Следуя закону сохранения энергии, работа всех источников тока равна сумме механической работы сил поля, изменению энергии поля и количества теплоты Джоуля - Ленца:
\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(3\right).}}\]
При отсутствии движения проводников и диэлектриков ($\delta A=0;;\ dW$=0) вся работа источников ЭДС переходит в тепло:
\[\sum{\varepsilon Idt=\sum{RI^2dt\ \left(4\right).}}\]
Используя закон сохранения энергии, иногда можно рассчитать механические силы, действующие в электрическом поле проще, чем исследуя, как воздействует поле на отдельные части тела. При этом поступают следующим образом. Допустим, нам следует вычислить величину силы $\overline{F}$, которая действует на тело, находящееся в электрическом поле. Допускают, что рассматриваемое тело совершает малое перемещение $d\overline{r}$. В таком случае, работа силы $\overline{F}$ равна:
\[\delta A=\overline{F}d\overline{r}=F_rdr\ \left(5\right).\]
Далее находят все изменения энергии, которые вызваны перемещением тела. Затем из закона сохранения энергии получают проекцию силы${\ \ F}_r$ на направление перемещения ($d\overline{r}$). Если выбрать перемещения параллельные осям системы координат, то можно найти компоненты силы вдоль этих осей, следовательно, вычислить неизвестную силу по величине и направлению.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Плоский конденсатор частично погружен в жидкий диэлектрик (рис.1). Когда конденсатор заряжается, на жидкость в областях неоднородного поля действуют силы, при этом жидкость втягивается в конденсатор. Найдите силу ($f$) воздействия электрического поля на каждую единицу горизонтальной поверхности жидкости. Считайте, что конденсатор соединен с источником напряжения, напряжение $U$ и напряженность поля внутри конденсатора постоянны.
Решение. При увеличении столба жидкости между пластинами конденсатора на величину $dh$ работа силы $f$ равна:
\[dA=Sfdh\ \left(1.1\right),\]
где $S$ - горизонтальное сечение конденсатора. Изменение энергии электрического поля плоского конденсатора определим как:
\[dW=\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)Sdh\ \left(1.2\right).\]
Обозначим $b$ - ширину пластины конденсатора, тогда заряд, который дополнительно перейдет от источника, равен:
\[dq=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)bdh\ \left(1.3\right).\]
При этом работа источника тока:
\[\varepsilon dq=Udq=U\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E-{\varepsilon }_0E\right)bdh\left(1.4\right),\]
если считать, что сопротивление проводов мало, то можно положить:
\[\varepsilon =U\ \left(1.5\right).\]
Учитывая, что $E=\frac{U}{d}$Тогда формула (1.4) перепишется в виде:
\[\varepsilon dq=\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh\left(1.6\right).\]
Применяя закон сохранения энергии в цепи постоянного тока, если она имеет источник ЭДС:
\[\sum{\varepsilon Idt=\delta A+dW+\sum{RI^2dt\ \left(1.7\right)}}\]
для рассматриваемого случая запишем:
\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)Sdh=Sfdh+\left(\frac{ее_0E^2}{2}-\frac{е_0E^2}{2}\right)Sdh\ \left(1.8\right).\]
Из полученной формулы (1.8) найдем $f$:
\[\left(\varepsilon {\varepsilon }_0E^2-{\varepsilon }_0E^2\right)=f+\left(\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}\right)\to f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}.\]
Ответ. $f=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}-\frac{{\varepsilon }_0E^2}{2}$
Пример 2
Задание. В первом примере мы считали сопротивления проводов бесконечно малыми. Как изменилась бы ситуация,
если сопротивление считать конечной величиной, равной R?
Решение. Если предполагать, что сопротивление проводов не мало, то при объединении в законе сохранения (1.7)
слагаемых: $\varepsilon Idt\ $ и $RI^2dt$, мы получим, что:
\[\varepsilon Idt=RI^2dt=\left(\varepsilon -IR\right)Idt=UIdt.\]
Читать дальше: зонная структура полупроводников.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 471 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
