• Главная
• Справочник
• Физика

Формулы эффекта Доплера

В 1842 г К. Доплер заметил, что воспринимаемая частота становится больше при сближении источника и приемника волн и уменьшается при увеличении расстояния между ними. Доплер качественно показал то, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, зависит от направления и модуля скорости движения приемника относительно источника волн.

Выводы Доплера применимы ко всем волновым процессам (оптическим, акустическим и другим). Доплер наблюдал это явление в акустических волнах. Однако экспериментальное подтверждение эффекта Доплера было дано для световых волн в астрономических наблюдениях.

Имеет смысл выделить два вида эффекта Доплера (в зависимости от типа волн):

1. Оптический эффект Доплера, который наблюдают при распространении электромагнитных волн. При этом рассматривают относительное движение источника волн и наблюдателя в вакууме.
2. Акустический эффект Доплера, наблюдаемый при распространении звуковой волны. В этом случае необходимо учитывать наличие среды, в которой распространяется звук, относительное движение источника и наблюдателя и перемещение источника и приемника по отношению к среде.

С эффектом Доплера связывают черенковское излучение, возникающее при перемещении частиц, имеющих заряд, с большими скоростями в веществе.

Оптический эффект Доплера

Согласно теории относительности во всех инерциальных системах отсчета волновое уравнение для световой не меняет своей формы. Применяя преобразования Лоренца получают уравнение электромагнитной волны, посылаемой источником наблюдателю при изменении системы отсчета. Следовательно, имеется возможность связать частоту световой волны, излучаемой источником (${\nu }_0$) с частотой волны, которую принимает наблюдатель ($\nu $). Тогда для световых волн в вакууме:

\[\nu ={\nu }_0\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}{\cos ?\ }}\left(1\right),\]

где $v$ - относительная скорость источника и приемника волн; $c$- скорость света в вакууме; $?$ - угол между $\overline{v}$ и направлением, в котором проводится наблюдение в системе отсчета наблюдателя.

Для продольного эффекта Доплера (когда $?=0)$ имеем:

\[\nu ={\nu }_0\frac{\sqrt{1-\frac{v}{c}}}{\sqrt{1+\frac{v}{c}}}\left(2\right).\]

Если наблюдатель движется вдоль линии соединяющей его с источником волн, то получают продольный эффект Доплера. При небольших относительных скоростях ($v\ll c$), раскладывая выражение (2) в ряд и принимая во внимание только степени первого порядка для$\ \frac{v}{c}$, получим:

\[\nu ={\nu }_0\left(1-\frac{v}{c}\right)\left(3\right).\]

Формула (3) означает, что при $v>0$ (источник и приемник удаляются друг от друга) наблюдается сдвиг в сторону длинных волн. Говорят, что происходит красное смещение:

\[v>0\to {\mathbf \nu }{\mathbf <}{\nu }_0\to \lambda >{\lambda }_0\left(4\right).\]

При сближении источника волн и наблюдателя получим:

\[v<0\to {\mathbf \nu }{\mathbf >}{\nu }_0\to \lambda <{\lambda }_0\left(5\right)\]

возникает фиолетовое смещение.

А.А. Белопольский наблюдал продольный эффект Доплера в экспериментах в 1900 г.

Если приемник перемещается перпендикулярно линии, соединяющей наблюдателя и источник ($?=\frac{\pi }{2}$) выражение (1) преобразуется к виду:

\[\nu ={\nu }_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\left(6\right).\]

Формула (6) описывает поперечный эффект Доплера. Выражение (6) показывает, что поперечный эффект Доплера - это эффект второго порядка малости в сравнении с продольным эффектом. Данный эффект выявить сложнее, так как он меньше. Поперечный эффект в акустике не наблюдают. Если относительные скорости малы ($v\ll c$) то получим, $\nu \approx {\nu }_0.$ Следовательно, что поперечный эффект Доплера является исключительно релятивистским эффектом. Его связывают с замедлением течения времени перемещающегося приемника.

Поперечный эффект Доплера найден экспериментально в 1938 г американцем Г. Айвсом. Этот эффект - еще одно доказательство теории относительности.

Эффект Доплера широко используется в радиотехнике и радиолокации.

Эффект Доплера в акустике

Для акустических волн имеет смысл говорить не только об относительном движении источника и приемника волн, но и их движении относительно среды, в которой они находятся.

Пусть движется источник волн относительно среды со скоростью $v$ по линии, соединяющей источник и наблюдателя. Скорость волны в среде ($u$) постоянная, не зависящая от движения источника. Тогда, если источник волн удаляется от наблюдателя:

\[\nu =\frac{{\nu }_0}{1+\frac{v}{u}}=\frac{{\nu }_0u}{u+v}\left(7\right).\]

При приближении источника волн к наблюдателю:

\[\nu =\frac{{\nu }_0}{1-\frac{v}{u}}=\frac{{\nu }_0u}{u-v}\left(8\right).\]

Если движется источник волн в веществе, то скорость волны относительно наблюдателя неизменна, изменяется частота и длина волны.

Допустим, что движется приёмник волн относительно среды со скоростью $v$, по линии, соединяющей источник и наблюдателя, скорость волны в веществе равна $u$. Тогда при удалении наблюдателя частота звука, воспринимаемая приемником равна:

\[\nu =\frac{{\nu }_0}{1+\frac{v}{u-v}}={\nu }_0(1-\frac{v}{u})\left(9\right).\]

При приближении приемника к наблюдателю имеем:

\[\nu ={\nu }_0(1+\frac{v}{u})\left(10\right).\]

При движении приемника длина волны, которую он воспринимает, не изменяется, изменяются скорость волны и частота.

Если направление наблюдения составляет угол $\varphi $ с направлением движения, то при движении источника имеем:

\[\nu =\frac{{\nu }_0}{1\mp \frac{v{\cos \varphi \ }}{u}}\left(11\right).\]

В случае движении наблюдателя:

\[\nu ={\nu }_0(1\mp \frac{v{\cos \varphi \ }}{u})\left(12\right).\]

Если наблюдатель движется относительно среды со скоростью $v$, а источник со скоростью $v'$ в ту же сторону, что источник, то:

\[\nu ={\nu }_0\frac{1+\frac{v}{u}}{1+\frac{v'}{u}}\left(13\right).\]

Если источник и приемник волны не движется относительно друг друга ($v=v'$), то эффекта Доплера нет.

Примеры задач с решением

Читать дальше: амплитудная дифракционная решетка.