Колебаниями называют такие движения или процессы, которые повторяются.
Гармонические колебания
Определение
По своей природе колебания делят на механические, электромагнитные и др. Разные виды колебаний описывают при помощи одинаковых уравнений и при этом используют одинаковые характеристики.
Колебания являются свободными (собственными), если они происходят за счет энергии, которая получена колебательной системой один раз и в дальнейшем внешние воздействия на эту систему отсутствуют.
Уравнение и характеристики гармонических колебаний
Самым простым видом колебаний считают гармонические колебания.
Определение
Гармоническими колебаниями называют такие колебания, при которых переменная величина изменяется в зависимости от времени по закону синуса или косинуса. Пусть происходят гармонические колебания никоторого параметра $s$, тогда они описываются как:
\[s=A{\cos ({\omega }_0t+\varphi )\ }\ \left(1\right),\]где $A=s_{max}$ - амплитуда колебаний; ${\omega }_0$ - циклическая (круговая) частота колебаний; $\varphi $ - начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний. Величина $s$ изменяется $-A\le s\le $+A.
Промежуток времени, через который повторяются определенные состояния системы (T) называют периодом. За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2\pi $, поэтому:
\[T=\frac{2\pi }{{\omega }_0}\left(2\right).\]Любые процессы, которые повторяются через одинаковые промежутки времени (периодические процессы) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.
Физическая величина обратная периоду колебаний называется частотой ($\nu $). Частота - это количество полных колебаний, которые совершаются за единицу времени.
\[\nu =\frac{1}{T}\left(3\right).\]Из (2) и (3) следует, что циклическая частота равна:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \left(4\right).\]Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний записывают как:
\[\frac{d^2s}{dt^2}+{\omega }^2_0s=0\ \left(5\right).\]Решением уравнения (5) является выражение (1).
Графическое изображение гармонических колебаний
Гармонические колебания можно изображать графически (рис.1). Для этого используют метод векторных диаграмм. С этой целью, из какой - то произвольно избранной точки оси X, пусть это будет точка O, под углом равным начальной фазе (угол $\varphi $), откладывают вектор $\overline{A}$. Длина этого вектора равна амплитуде ($A$) колебаний. Если этот вектор приводится во вращение с угловой скоростью ${\omega }_0$, то проекция конца этого вектора перемещается по оси X и принимает значения от $-A$ до $A$, при этом закон колеблющейся величины будет таким, как представляет уравнение (1). Получается, что гармонические колебания можно изобразить при помощи проекции на некоторую ось вектора амплитуды $\overline{A}$, который отложен из произвольной точки этой оси под углом $\varphi $, вращающимся с угловой скоростью ${\omega }_0$ вокруг избранной точки.
В физике применяют еще один метод, который отличается от метода векторных диаграмм формой. В этом методе колеблющуюся величину в виде комплексного числа. В соответствии с формулой Эйлера:
\[e^{i\alpha }={\cos \alpha +i{\sin \alpha \ \left(6\right),\ }\ }\]где $i$ - мнимая единица. При этом уравнение гармонических колебаний записывают как:
\[\tilde{s}=Ae^{i\left({\omega }_0t+\varphi \right)}\left(7\right).\]Вещественная часть выражения (7) - гармоническое колебание:
\[s=Re\left(\tilde{s}\right)=A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(8\right).\]Часто значок, обозначающий реальную часть ($Re$) опускают, тогда записывают:
\[s=Ae^{i\left({\omega }_0t+\varphi \right)}\left(9\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Запишите уравнение гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда колебаний равна 8м, за $t=1\ мин$ точка совершает $n=$120 колебаний. Начальная фаза колебаний равна $\varphi =\frac{\pi }{4}$.
Решение. Найдем циклическую частоту колебаний (${\omega }_0$):
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.1\right).\]Период колебаний вычислим, так как нам известно, что на 120 колебаний затрачено время $t=1$ мин=60с:
\[T=\frac{t}{n}=\frac{60}{120}=0,5\ \left(c\right).\]Циклическая частота колебаний равна:
\[{\omega }_0=\frac{2$\eth$}{0,5}=4\pi .\]Уравнение гармонических колебаний будем записывать в форме:
\[s=A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(1.2\right),\] $A=8$ м; $\varphi =\frac{\pi }{4}.$тогда получаем:
\[s=8{cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{4}\right).\ }\]Ответ. $s=8{cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{4}\right)(м)\ }$
Пример 2
Задание. Материальная точка, массы $m$ подвешена на пружине (рис.2). Она совершает гармонические колебания под действием силы упругости. Чему равна потенциальная энергия ($E_p$) этой материальной точки?
Решение. Материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси X (рис.1). Сила, действующая на точку равна:
\[F=ma\ \left(2.1\right).\]Так как по условию колебания гармонические, запишем:
\[x=A{cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\to a=\frac{d^2x}{dt^2}\ }=-A{\omega }^2_0{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }\left(2.2\right).\]Из (2.1) и (2.2) получаем:
\[F=-mA{\omega }^2_0x\ \left(2.3\right).\]Сила упругости является потенциальной, следовательно:
\[E_p=-\int\limits^x_0{Fdx=\frac{mA{\omega }^2_0x^2}{2}}=\frac{m{\omega }^2_0A^2}{2}{{cos}^2 \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }.\]Ответ. $E_p=\frac{m{\omega }^2_0A^2}{2}{{cos}^2 \left({\omega }_0t+\varphi \right)\ }$
Читать дальше: давление.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
