Циклическая частота - это параметр, характеризующий колебательные движения. Обозначают эту скалярную величину как $\omega $, иногда ${\omega }_0$.
Формула циклической частоты колебаний
Определение и формула циклической частоты колебаний
Определение
Напомним, что уравнение гармонических колебаний параметра $\xi $ можно записать как:
\[\xi \left(t\right)=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1\right),\]где $A={\xi }_{max}$ - амплитуда колебаний величины $\xi $; $\left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)$=$\varphi $ - фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний.
Циклическую частоту при гармонических колебаниях определяют как частную производную от фазы колебаний ($\varphi $) по времени ($t$):
\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).\]Циклическая частота колебаний связана с периодом ($T$) колебаний формулой:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(3\right).\]Циклическую частоту с частотой $?$$?$ связывает выражение:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(4\right).\]Формулы для частных случаев нахождения циклической частоты
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\left(5\right),\]$k$ - коэффициент упругости пружины; $m$ - масса груза на пружине.
Гармонические колебания физического маятника происходят с циклической частотой равной:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{mga}{J}}\left(6\right),\]где $J$ - момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ - расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ - масса маятника.
Частным случаем физического маятника является математический маятник (физический маятник, масса которого сосредоточена в точке), циклическая частота его колебаний может быть найдена как:
\[{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{l}}\left(7\right),\]где $l$ - длина подвеса, на которой находится материальная точка.
Частота колебаний в электрическом контуре равна:
\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(8\right),\]где $C$ - емкость конденсатора, который входит в контур; $L$ - индуктивность катушки контура.
Если колебаний являются затухающими, то их частоту находят как:
\[\omega =\sqrt{{\omega }^2_0-{\delta }^2}\left(9\right),\]где $\delta $ - коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний, ${\omega }_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. В электрический колебательный контур (рис.1) входит соленоид, длина которого $l$, площадь поперечного сечения $S_1$, число витков $N\ $и плоский конденсатор с расстоянием между пластинами $d$, площадью пластин $S_2$. Какова частота собственных колебаний контура (${\omega }_0$)?
Решение. Основой для решения задачи служить формула для частоты колебаний в электрическом контуре:
\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}\left(1.1\right).\]Элементом, обладающим индукцией в нашем контуре является соленоид. Индуктивность соленоида равна:
\[L=\mu {\mu }_0\frac{N^2S_1}{l}\left(1.2\right),\]где $\mu =1$, ${\mu }_0$ - магнитная постоянная.
Емкость плоского конденсатора вычислим по формуле:
\[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0\ }S_2}{d}\left(1.3\right),\]где $\varepsilon =1$, ${\varepsilon }_{0\ }$ - электрическая постоянная.
Правые части выражений (1.2) и (1.3) подставим в (1.1) вместо соответствующих величин:
\[{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\frac{ld}{{{\mu }_0{\varepsilon }_{0\ }N}^2S_1S_2}}\left(1.4\right).\]Ответ. ${\omega }_0=\sqrt{\frac{ld}{{{\mu }_0{\varepsilon }_{0\ }N}^2S_1S_2}}$
Пример 2
Задание. Чему равна циклическая частота гармонических колебаний материальной точки, если амплитуда скорости точки равна ${\dot{x}}_{max}=v_0$, амплитуда ее ускорения: ${\ddot{x}}_{max}=a_0$? Начальная фаза колебаний равна нулю.
Решение. Из контекста условий задачи понятно, что колебания совершает координата $x$, поэтому уравнение колебаний (в общем виде) запишем как:
\[x\left(t\right)=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)=\ }A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(2.1\right),\]По условию задачи ${\varphi }_0$=0. Тогда уравнение для скорости изменения параметра $x\left(t\right)$ имеет вид:
\[\dot{x}\left(t\right)=v\left(t\right)=-A{\omega }_0{\sin \left({\omega }_0t\right)\left(2.2\right).\ }\]Из выражения (2.2) следует, что:
\[{\dot{x}}_{max}=v_0=A{\omega }_0\left(2.3\right).\]Уравнение для ускорения материальной точки, используя (2.2) запишем как:
\[\ddot{x}\left(t\right)=a\left(t\right)=-A{{\omega }_0}^2{\cos \left({\omega }_0t\right)\left(2.4\right).\ }\]Получаем, что:
\[{\ddot{x}}_{max}=A{{\omega }_0}^2=a_0\ \left(2.5\right).\]Мы получили следующую систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
\[\left\{ \begin{array}{c} v_0=A{\omega }_0 \\ a_0=A{{\omega }_0}^2 \end{array} \right.\left(2.6\right).\]Найдем отношение $\frac{a_0}{v_0}$, получим:
\[\frac{a_0}{v_0}={\omega }_0.\]Ответ. ${\omega }_0=\frac{a_0}{v_0}$
Читать дальше: формула частоты колебаний пружинного маятника.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
