Частота колебаний ($\nu$) является одним из параметров, которые характеризуют колебания Это величина обратная периоду колебаний ($T$):
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1\right).\]Формула частоты колебаний пружинного маятника
Частота колебаний
Определение
Таким образом, частотой колебаний называют физическую величину, равную числу повторений колебаний за единицу времени.
\[\nu =\frac{N}{\Delta t}\left(2\right),\]где $N$ - число полных колебательных движений; $\Delta t$ - время, за которые произошли данные колебания.
Циклическая частота колебаний (${\omega }_0$) связана с частотой $\nu $ формулой:
\[\nu =\frac{{\omega }_0}{2\pi }\left(3\right).\]Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:
\[\left[\nu \right]=с^{-1}=Гц.\]Пружинный маятник
Определение
Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.
Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать горизонтальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. При этом часто считают, что силы трения можно не учитывать.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, который совершает свободные колебания - это пример гармонического осциллятора. Пусть он выполняет колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза запишем как:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\left(4\right),\]где ${\omega }^2_0=\frac{k}{m}$ - циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решение уравнения (4) это функция синуса или косинуса вида:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+\varphi \right)=A{\sin \left({\omega }_0t+{\varphi }_1\right)\ }\ }\left(5\right),\]где ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний пружинного маятника, $A$ - амплитуда колебаний; ${(\omega }_0t+\varphi )$ - фаза колебаний; $\varphi $ и ${\varphi }_1$ - начальные фазы колебаний.
Частота колебаний пружинного маятника
Из формулы (3) и ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$, следует, что частота колебаний пружинного маятника равна:
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(6\right).\]Формула (6) справедлива в случае, если:
- пружина в маятнике считается невесомой;
- груз, прикрепленный к пружине, является абсолютно твердым телом;
- крутильные колебания отсутствуют.
Выражение (6) показывает, что частота колебаний пружинного маятника увеличивается с уменьшением массы груза и увеличением коэффициента упругости пружины. Частота колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Если колебания не являются малыми, сила упругости пружины не подчиняется закону Гука, то появляется зависимость частоты колебаний от амплитуды.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Период колебаний пружинного маятника составляет $T=5\cdot {10}^{-3}с$. Чему равна частота колебаний в этом случае? Какова циклическая частота колебаний этого груза?
Решение. Частота колебаний - это величина обратная периоду колебаний, следовательно, для решения задачи достаточно воспользоваться формулой:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(1.1\right).\]Вычислим искомую частоту:
\[\nu =\frac{1}{5\cdot {10}^{-3}}=200\ \left(Гц\right).\]Циклическая частота связана с частотой $\nu $ как:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(1.2\right).\]Вычислим циклическую частоту:
\[{\omega }_0=2\pi \cdot 200\approx 1256\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]Ответ. $1)\ \nu =200$ Гц. 2) ${\omega }_0=1256\ \frac{рад}{с}$
Пример 2
Задание. Массу груза, висящего на упругой пружине (рис.2), увеличивают на величину $\Delta m$, при этом частота уменьшается в $n$ раз. Какова масса первого груза?
Решение. Будем считать, что грузы на пружине совершают свободные гармонические колебания, тогда за основу решения задачи примем формулу:
\[\nu =\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.1\right).\]Для первого груза частота будет равна:
\[{\nu }_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\ \left(2.2\right).\]Для второго груза:
\[{\nu }_2=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m+\Delta m}}\ \left(2.2\right).\]По условию задачи ${\nu }_2=\frac{{\nu }_1}{n}$, найдем отношение $\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}:\frac{{\nu }_1}{{\nu }_2}=\sqrt{\frac{k}{m}\cdot \frac{m+\Delta m}{k}}=\sqrt{1+\frac{\Delta m}{m}}=n\ \left(2.3\right).$
Получим из уравнения (2.3) искомую массу груза. Для этого обе части выражения (2.3) возведем в квадрат и выразим $m$:
\[1+\frac{\Delta m}{m}=n^2\to \frac{\Delta m}{m}=n^2-1\to m=\frac{\Delta m}{n^2-1}.\]Ответ. $m=\frac{\Delta m}{n^2-1}$
Читать дальше: формула частоты.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
