Формула центростремительного ускорения в физике

Формула центростремительного ускорения

Определение и формула центростремительного ускорения

Определение

Центростремительным ускорением называют компоненту полного ускорения материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, которая определяет быстроту изменения направления вектора скорости.

Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно ${\overline{a}}_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.

Центростремительное ускорение равно:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{r^2}\overline{r\ }=\frac{v^2}{r}{\overline{e}}_r\left(1\right),\]

где ${\overline{e}}_r=\frac{\overline{r\ }}{r}$ - единичный вектор, который направлен от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке; $r$ - радиус кривизны траектории в месте нахождения материальной точки в рассматриваемый момент времени.

Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

\[\left[a_n\right]=\frac{м}{с^2}.\]

Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.

Формула центростремительного ускорения, рисунок 1

Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}'-\overline{v}\left(2\right).\]

Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{R}=\alpha \left(3\right).\]

Величину модуля среднего ускорения определяют как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{R\Delta t}\left(4\right).\]

Перейдем к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle \ \ $в формуле (4):

\[a={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle a\right\rangle \ }={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{v\Delta l}{r\Delta t}=\frac{v}{R}\ }\mathop{{\rm lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{v}{R}v=\frac{v^2}{R}\left(5\right).\]

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(6\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac{\pi }{2}$.

И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности (${\overline{a}}_n\bot \overline{v}$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(7\right),\]

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:

\[{\overline{a}}_n=-{\omega }^2\overline{R}\ \left(8\right),\]

где $\overline{R}$ - радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Векторное уравнение $\overline{r}\left(t\right)=\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin \left(\omega t\right)\ }\ }$, где $\omega =2\ \frac{рад}{с},$ описывает движение материальной точки. По какой траектории движется данная точка? Чему равен модуль ее центростремительного ускорения? Считайте, что все величины в системе СИ.

Решение. Рассмотрим уравнение движения точки:

\[\overline{r}\left(t\right)=\overline{i}{\cos \left(\omega t\right)+\overline{j}{\sin (\omega t)\ }\ }\ \left(1.1\right).\]

В декартовой системе координат это уравнение эквивалентно системе уравнений:

\[\left\{ \begin{array}{c} x={\cos \left(\omega t\right);;\ } \\ y={\sin \left(\omega t\right)\ } \end{array} \left(1.2\right).\right.\]

Для того, чтобы понять по какой траектории движется точка нам следует исключить время из уравнений системы (1.2). Для этого возведем оба уравнение в квадрат и сложим их:

\[x^2+y^2={cos}^2\left(\omega t\right)+{sin}^2\left(\omega t\right)=1\ \left(1.3\right).\]

Из уравнения (1.3) мы видим, что траекторией движения точки является окружность (рис.2) радиуса $R=1$ м.

Для того чтобы найти центростремительное ускорение воспользуемся формулой:

\[a_n=\frac{v^2}{R}\left(1.4\right).\]

Модуль скорости определим используя систему уравнений (1.2). Найдем компоненты скорости, которые равны:

\[\left\{ \begin{array}{c} v_x=\frac{dx}{dt}=-\omega {\sin \left(\omega t\right)\ }, \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\omega {{\cos \left(\omega t\right)\ } ,\ } \end{array} \right.\left(1.5\right).\]

Квадрат модуля скорости будет равен:

\[v^2=v^2_x+v^2_y={\omega }^2\left(1.6\right).\]

Из того, какой получился модуль скорости (1.6), мы видим, что наша точка движется по окружности равномерно, следовательно, центростремительное ускорение будет совпадать с полным ускорением.

Формула центростремительного ускорения, пример 1

Подставим $v^2$ из (1.6) в формулу (1.4), имеем:

\[a_n=\frac{{\omega }^2}{R}.\]

Вычислим $a_n$:

$a_n=\frac{4}{1}=4\ \left(\frac{м}{с^2}\right).$

Ответ. 1) Окружность; 2) $a_n=4\ \frac{м}{с^2}$

Пример 2

Задание. Каково центростремительное ускорение точек на ободе диска в момент времени, равный $t=2$c, если диск вращается в соответствии с уравнением: $\varphi (t)=3+2t^3$? Радиус диска равен $R=0,{\rm 1}$ м.

Решение. Центростремительное ускорение точек диска будем искать, применяя формулу:

\[a_n={\omega }^2R\left(2.1\right).\]

Угловую скорость найдем, используя уравнение $\varphi (t)=3+2t^3$ как:

\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}=6t^2.\ \]

При $t=2\ $c угловая скорость равна:

\[\omega \left(t=2\right)=24\ \left(\frac{рад}{с}\right).\]

Можно вычислить центростремительное ускорение по формуле (2.1):

\[a_n={24}^2\cdot 0,1=57,6\ \left(\frac{м}{с^2}\right).\]

Ответ. $a_n=57,6\frac{м}{с^2}$

Читать дальше: формула циклической частоты колебаний.


Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 453 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!