• Главная
• Справочник
• Физика

Формула центростремительного ускорения

Определение и формула центростремительного ускорения

Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно ${\overline{a}}_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.

Центростремительное ускорение равно:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{r^2}\overline{r\ }=\frac{v^2}{r}{\overline{e}}_r\left(1\right),\]

где ${\overline{e}}_r=\frac{\overline{r\ }}{r}$ - единичный вектор, который направлен от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке; $r$ - радиус кривизны траектории в месте нахождения материальной точки в рассматриваемый момент времени.

Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

\[\left[a_n\right]=\frac{м}{с^2}.\]

Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.

Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:

\[\Delta \overline{v}={\overline{v}}'-\overline{v}\left(2\right).\]

Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:

\[\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta l}{R}=\alpha \left(3\right).\]

Величину модуля среднего ускорения определяют как:

\[\left\langle a\right\rangle =\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\Delta l}{R\Delta t}\left(4\right).\]

Перейдем к пределу при $\Delta t\to 0\ $ от $\left\langle a\right\rangle \ \ $в формуле (4):

\[a={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \left\langle a\right\rangle \ }={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{v\Delta l}{r\Delta t}=\frac{v}{R}\ }\mathop{{\rm lim}}_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta l}{\Delta t}=\frac{v}{R}v=\frac{v^2}{R}\left(5\right).\]

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

\[\beta =\frac{\pi +\alpha }{2}\left(6\right).\]

При $\Delta t\to 0\ $ угол $\alpha \to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $\frac{\pi }{2}$.

И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности (${\overline{a}}_n\bot \overline{v}$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:

\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(7\right),\]

где $\omega $ - угловая скорость движения материальной точки ($v=\omega \cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:

\[{\overline{a}}_n=-{\omega }^2\overline{R}\ \left(8\right),\]

где $\overline{R}$ - радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формула циклической частоты колебаний.