Мгновенной (истинной) скоростью ($\overline{v}$) называют векторную физическую величину, равную производной от вектора перемещения по времени ($t$):
\[\overline{v}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{r}}{\Delta t}=\frac{d\overline{r}}{dt}\ }\left(1\right).\]$\Delta \overline{r}$- вектор перемещения материальной точки, это перемещение точка совершает за отрезок времени $\Delta t$.
Скорость называют мгновенной, так как ее значение показывает величину скорости в определенный момент времени.
Так как вектор перемещения $\Delta \overline{r}$ направлен по хорде, которая соединяет две близкие точки криволинейной траектории движения частицы, при уменьшении расстояния между этими точками, вектор $\Delta \overline{r}$ занимает положение касательной к линии, по которой движется частица. Из определения (1) следует, что мгновенная скорость направлена по касательной к траектории движения.
Скорость прохождения пути ($s$) определяют:
\[v={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}\left(2\right).\ }\]Мгновенную скорость называют линейной тогда, когда хотят подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.
Если материальная точка движется по окружности, то ее положение характеризуют при помощи угла поворота ($\varphi $), который образует радиус-вектор ($\overline{r}$), определяющий положение рассматриваемой точки А с выделенным неизменным направлением от которого производят отсчет (рис.1).
Быстроту изменения угла поворота $\varphi $ характеризуют при помощи такой физической величины как угловая скорость. Обычно угловую скорость обозначают буквой $\omega $. Угловая скорость равна:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(3\right).\]Вращение называют равномерным, если угловая скорость постоянна $\omega =const$. При равномерном вращении $\omega $ можно называть угловой частотой.
Линейная скорость движения точки по окружности связана с угловой скоростью. Пусть точка проходит путь равный длине дуги XA (рис.1). Этот путь обозначим $s$. Если радиус окружности равен$\ R=const$, то длину дуги найдем как:
\[s=R\varphi \ \left(4\right).\]Продифференцируем обе части выражения (4) по времени, имеем:
\[\frac{ds}{dt}=\frac{d\left(R\varphi \right)}{dt}=R\frac{d\varphi }{dt}\left(5\right).\]Мы видим, что в левой части получена величина линейной скорости, в правой части радиус окружности умножен на угловую скорость:
\[v=R\omega \left(6\right).\]Формула (6) будет справедлива при движении точки по криволинейной траектории отличной от окружности, но в этом случае $R$ - радиус кривизны траектории в месте нахождения частицы.
В векторном виде выражение (6) записывают так:
\[\overline{v}=\overline{\omega }\times \overline{r}\left(7\right),\]$\overline{r}$ - вектор, соединяющий ось вращения и движущуюся точку (рис.2). Модуль скорости, используя формулу (7) найдем как:
\[v=\omega r{\sin \alpha \ \left(8\right),\ }\]где $\alpha $ - угол между вектором угловой скорости и $\overline{r}.$
Исходя из приведенных выше формул угловую скорость можно выразить через линейную. При движении по окружности:
\[\omega =\frac{v}{R}\left(9\right).\]Или используя формулу (8) угловую скорость выразим как:
\[\omega =\frac{v}{r{\sin \alpha \ }}\left(10\right).\]Задание. Диск равномерно вращается вокруг оси (O), перпендикулярной его плоскости, проходящей через его центр (рис.3). Линейная скорость точки A равна $v_1$, Точка B находится на расстоянии $\Delta l$ ближе к оси и имеет лилейную скорость $v_2$. Какова угловая скорость вращения диска ($\omega $)?
Решение. Основой для решения задачи будет формула:
\[\omega =\frac{v}{R}\left(1.1\right).\]Угловые скорости движения точки A и B одинаковы (${\omega }_A={\omega }_B$), запишем выражение для каждой из этих скоростей используя (1.1):
\[{\omega }_A=\frac{v_1}{R_1};;\ {\omega }_B=\frac{v_2}{R_2}\left(1.2\right).\]$R_1$ - расстояние от точки O до точки A; $R_2=R_1-\Delta l$ - расстояние от точки B до точки O. Приравняем правые части выражений (1.2), выразим расстояние $R_1$:
\[\frac{v_1}{R_1}=\frac{v_2}{R_1-\Delta l}\to R_1=\frac{\Delta l\cdot v_1}{v_1-v_2}\left(1.3\right).\]Найдем угловую скорость точки A:
\[{\omega }_A=v_1\cdot \frac{v_1-v_2}{\Delta l\cdot v_1}=\frac{v_1-v_2}{\Delta l}.\]Ответ. Угловая скорость всех точек диска равна $\omega =\frac{v_1-v_2}{\Delta l}$
Задание. Колесо радиусом R=1 м вращается так, что угол поворота изменяется в соответствии с законом: $\varphi \left(t\right)=2+5t^3(рад)$. Определите, какова линейная скорость точек обода колеса в момент времени, равный $t'=1\ (с)$.
Решение. В качестве основы для решения задачи воспользуемся формулой:
\[v=R\omega \left(2.1\right).\]Используя уравнение $\varphi \left(t\right)$ и связь угла поворота и угловой скорости найдем $\omega $:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}=\frac{d}{dt}\left(A+Bt^3\right)=3Bt^2(2.2).\]Подставим результат (2.2) в (2.1), имеем:
\[v=R\cdot 3Bt^2.\]Вычислим искомую скорость:
\[v=1\cdot 3\cdot 5\cdot 1^2=15\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ. $v\left(t'\right)=15\frac{м}{с}$
Читать дальше: масса и плотность вещества.
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
