Линейная скорость вращения, теория и онлайн калькуляторы
Линейная скорость вращения
Движение твердого тела
Твердое тело может участвовать в двух видах движения: поступательном и вращении. При поступательном движении тела все его точки совершают за одинаковые промежутки времени одинаковые перемещения, в результате такого движения скорости и ускорения всех точек в каждый момент времени одинаковы. Значит, достаточно определить закон движения одной точки тела, для характеристики поступательного движения всего тела.
Если тело вращается, то все точки твердого тела совершают движения по окружностям с центрами, принадлежащими прямой. Эту прямую называют осью вращения.
Любое движение твердого тела можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Рассмотрим плоское движение. При этом элементарное перемещение некоторой выделенной точки тела ($d\overline{s}$) разложим на два перемещения: $d{\overline{s}}_p$ - поступательное перемещение и $d{\overline{s}}_v$ - вращательное перемещение, при этом:
\[d\overline{s}=d{\overline{s}}_p+d{\overline{s}}_v\left(1\right),\]
где $d{\overline{s}}_p$ для всех точек тела одинаково. $d{\overline{s}}_v-$ перемещение, которое осуществляется при повороте тела на один и тот же угол $d\varphi $ но относительно разных осей.
Скорость сложного движения твердого тела
Разделим обе части выражения (1) на отрезок времени, равный $dt$, получим:
\[\overline{v}=\frac{d\overline{s}}{dt}=\frac{d{\overline{s}}_p}{dt}+\frac{d{\overline{s}}_v}{dt}={\overline{v}}_0+\overline{v'}\left(2\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость поступательного движения точек твердого тела (равна для всех точек); $\overline{v'}$ - скорость вызванная вращением, различается для разных точек тела.
Плоское движение твердого тела можно представить как суму двух движений: поступательного со скоростью ${\overline{v}}_0$ и вращения с угловой скоростью $\overline{\omega }$.
Линейная скорость $\overline{v'}$ точки с радиус-вектором $\overline{r}$, которая возникает в результате вращения тела (линейная скорость вращения точки), равна:
\[\overline{v'}=\left[\overline{\omega }\overline{r}\right]\left(3\right),\]
в выражении (3) имеется в виду векторное произведение. Величина линейной скорости вращения находится как:
\[v'=\omega r{\sin \alpha \ \left(4\right),\ }\]
где $\alpha $ - угол между направлением вектора угловой скорости и радиус-вектором точки (рис.1).
Скорость этой точки при сложном движении представлена формулой:
\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\left[\overline{\omega }\overline{r}\right]\left(5\right).\]
В теле могут иметься точки, которые участвуют в поступательном движении и вращении и при этом остаются неподвижными. При известных ${\overline{v}}_0\ $и $\overline{\omega }$ можно найти такой радиус-вектор ($\overline{r}$), что $\overline{v}=0.$
Линейная скорость движения точки по окружности
Перемещение материальной точки по окружности иногда называют вращением точки. Скорость движения материальной точки по окружности называют линейной скоростью для того, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости. При равномерном движении точки по окружности, можно записать:
\[v=\frac{s}{\Delta t}=\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}R=\omega R\ \left(6\right),\]
где $R$ - радиус окружности; $s=\Delta \varphi R$ - путь, который проходит точка за время $\Delta t$, равный длине дуги окружности. Выражение:
\[v=\omega R\]
справедливо для равномерного и неравномерного движения точки по окружности.
При равномерном движении по окружности движение можно характеризовать при помощи периода обращения точки T, тогда:
\[v=\frac{2\pi R}{T}\left(7\right).\]
Примеры задач на линейную скорость вращения
Пример 1
Задание. Какова линейная скорость точек лежащих на поверхности Земли на широте Москвы ($\alpha =56{}^\circ $)?
Решение. Сделаем риснок.
Рассмотрим движение точки A, которая движется по окружности радиуса $r$ на рис.2. Радиус этой окружности связан с радиусом Земли ($R$) и широтой местности, которая обозначена углом $\alpha $:
\[r=R{\cos \alpha \ \left(1.1\right).\ }\]
Движение точки A можно считать равномерным, поэтому ее линейную скорость найдем как:
\[v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi Rcos\ \alpha }{T}\ \left(1.2\right).\]
Радиус Земли примем равным $6,3\cdot {10}^6м.$ Период обращения Земли вокруг своей оси T= 86164 с. Вычислим линейную скорость вращения точек на обозначенной широте:
\[v=\frac{2\pi \cdot 6,3\cdot {10}^6cos\ (56{}^\circ )}{86164}=257\ \left(\frac{м}{с}\right).\]
Ответ. $v=257\ \frac{м}{с}$
Пример 2
Задание. Винт вертолета имеет частоту вращения равную $n$. Скорость поступательного движения вертолета равна $u$. Какова линейная скорость движения одного из концов винта, если его радиус равен $R$?
Решение. Скорость движения точки винта при сложном движении, равна:
\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{v'}\left(2.1\right),\]
где ${\overline{v}}_0$ - скорость поступательного движения вертолета; $\overline{v'}$ - линейная скорость вращения точки конца винта.
В нашем случае по условию задачи:
\[\left|{\overline{v}}_0\right|=u;;\ {\overline{v}}_0\bot \overline{v'},\]
где $\overline{v'}=\left[\overline{\omega }\overline{R}\right];;\ \left|\overline{v'}\right|=\omega R.$
Величину скорости движения конца винта найдем как:
\[v=\sqrt{u^2+{(\omega R)}^2}=\sqrt{u^2+{4{\pi }^2n^2R}^2}\ ,\]
где $\omega =2\pi n.$
Ответ. $v=\sqrt{u^2+{4{\pi }^2n^2R}^2}\ $
Читать дальше: линейная скорость через угловую.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in
/var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line
20
Мы помогли уже 4 468 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
