Содержание:

Чтобы осуществить качественный анализ или выполнить хороший прогноз, недостаточно знать оценку вероятности выполнения события, а также оценку его чаще всего выпадающего результата. Для качественной полноценной проработки, необходимо получить больше данных. Требуется при проведении экспериментальных работ научиться рассчитывать степень отклонения получающихся результатов (случайных величин) от их матожидания. В Теории вероятностей существует отдельный параметр, который отвечает за подобный анализ. Он носит название дисперсия. Другое его наименование — стандартное или среднеквадратическое отклонение.

Дисперсия без особого труда может быть вычислена для дискретных случайных величин задаваемы последовательностями значений самих величин $ X_1, X_2 ... X_n$ и рядом, в котором указаны вероятности $ P_1, P_2 ... P_n$, соответствующие каждому конкретному из этих значений.

Определение 1

Для величины, являющейся случайной, дисперсия может быть вычислена согласно типовой формуле, при этом её обозначение D(X), где Х — обозначение случайной величины. Типовая формула для определения значения дисперсии выглядит следующим образом:

$D(X)=M[(X-M[x])^2]$

Здесь указано M, для случайной величины Х это матожидание. Сама дискретная величина представлена в определённом вероятностном пространстве, что значит — она задаётся рядом, в котором каждому конкретному значению, ею принимаемому, соответствует определённая вероятность. Значение дисперсии при этом имеет тот смысл, что она представляет собой математическое ожидание от отклонения дискретной случайной величины, возведённого во вторую степень. Когда говорится «отклонение», то имеется в виду ни что иное, как отклонение случайной величины от её математического ожидания (оно же среднеарифметическое значение и наиболее ожидаемый результат). 

Определение 2

Другой параметр, который наряду с дисперсией также важен для анализа систем, рассматриваемых в Теории вероятностей, называется средним квадратическим отклонением. Параметр также относится к случайной величине и математически представляет собой квадратный корень из дисперсии:

$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$

Пример

Допустим имеется случайная величина Х, являющаяся дискретной. Закон распределения такой величины выражается в следующем виде:

    • Вероятность результата Х=1 имеет значение Р=1/6;

    • Вероятность результата Х=2 имеет значение Р=1/2;

    • Вероятность результата Х=3 имеет значение Р=1/3.

С помощью полученных исходных данных можно произвести вычисления для матожидания. Оно будет найдено так:

$M(X)=1 \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{1}{2}+2 \cdot \frac{1}{3}= \frac{13}{6}$

Чтобы рассчитать дисперсию, сделаем отдельную запись. Вычислим распределение отклонения, относящегося к  случайной величине и её матожиданию. Дополнительно определим квадрат данного отклонения:

Х-М(Х)= $-\frac{7}{6}$, Р= $\frac{1}{6}$.

Х-М(Х)= $-\frac{1}{6}$,  Р=$\frac{1}{2}$.

Х-М(Х)= $\frac{5}{6}$,  Р=$\frac{1}{3}$.

$(X-M(X))^2$=$\frac{49}{36}$,  P=$\frac{1}{6}$.

$(X-M(X))^2$=$\frac{1}{36}$,  P=$\frac{1}{2}$.

$(X-M(X))^2$=$\frac{25}{36}$,  P=$\frac{1}{3}$.

Используя полученные в результате вычисления данные, без труда рассчитаем значение дисперсии:

$D(X)= \frac{49}{36} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{3} = \frac{17}{36}$

Теорема 1

Для определения значения дисперсии, можно произвести вычитание следующих параметров: матожидания в квадрате и матожидания от квадрата рассматриваемой величины, являющейся случайной. Причём матожидание от квадрата  — будет играть роль вычитаемого.

$D(X)=M(X^2)- M^2(X)$

Доказательство

Понимая, что M(X), $2M(X)$, $M^2(X)$ имеют постоянные значения, а также используя свойства матожидания. Такие как, свойство о постоянном множителе, который можно вынести за знак матожидания. А также свойство о матожидании суммы, которое равняется сумме матожиданий. Можно преобразовать полученное ранее выражение, взятое как определение дисперсии.

$$D(X)=M(X-M(X))^2=M(X^2-2XM(X)+M^2(X))=$$ $$M(X^2)-2M(X)M(X)+M^2(X)=$$ $$M(X^2)-2M^2(X)+ M^2(X) = $$ $$M(X^2) - M^2(X) $$

В итоге у нас получится необходимое выражение:

$D(X)=M(X^2)-M^2(X)$

Свойства дисперсии

Свойство 1

Для постоянной величины её дисперсия будет равна нулю.

D(C)=0

Свойство 2

Имеющийся постоянный множитель под знаком дисперсии может быть вынесен, если перед этим он возведён в квадрат.

$D(СX)=С^2D(X)$

Свойство 3

Когда дискретные случайные величины, являющиеся независимыми, суммируются, а затем требуется вычислить их дисперсию, то для них допустимо вычислить дисперсии по отдельности и суммировать полученные результаты, а именно:

$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

Из полученного свойства имеют два следствия, первое из которых определяет возможность вычислить дисперсию от суммы любого количества случайных величин, большего двух, как сумму дисперсий этих же самых величин.

$D(X_1+X_2+…+X_n)=D(X_1)+D(X_2)+…+D(X_n)$

Второе следствие определяется для дисперсии взятой от суммы случайной велчиины и постоянной величины, в таком случае результатом данного суммирования будет дисперсия от случайной велчиины, ведь согласно ранее приведённому свойству дисперсия от константы равна нулю.

$D(C+X)=D(X)$

Свойство 4

Из первого и третьего свойства дисперсии нетрудно определить также и то, что при вычитании одной дискретной случайной величины из другой Рассмотрим разность двух случайных величин. Общая дисперсия будет равна сумме их дисперсий. Это утверждение легко вывести из первого и третьего свойств.

$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$

236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!