Для дискретных случайных величин были даны определения ряда параметров, которые упрощают их вероятностный анализ. Аналогичные характеристики можно ввести и для случайных величин непрерывного характера.

Допустим, что у нас имеется случайная величина Х — непрерывная и задаваемая с помощью плотности вероятности f(x). Также она определяется только для отрезка [a,b], что значит: все существующие значения Х лежат в пределах данного отрезка.

Поделим [a,b] на некоторое количество небольших промежутков, пусть это количество соответствует числу m. Тогда получим, что

$[a,b]=\triangle x_1+\triangle x_2 + \triangle x_3 +... +\triangle x_m$

Зададим на интервале [a,b] некоторую точку $x_i$, где i=1,2,3…m, и попробуем вычислить матожидание для непрерывной случайной величины аналогично тому, как ранее это было сделано для дискретной. Для этого составим выражение исходя из определения математического ожидания для $x_i$ и вероятности каждого элементарного события $p_i$:

$M(x)=\sum x_i\cdot p_i = \sum x_if(x_i)\triangle x_i$

В получившейся сумме произведение элементов $f(x) \cdot \triangle x$ соответствует вероятности того, что случайная величина примет значение из промежутка $ \triangle x$. Если принять, что наибольший из взятых промежутков $ \triangle x_i$ стремится к нулю, то предел выражения примет следующий вид:

$\lim_{\triangle x_i \rightarrow 0} \sum x_if(x_i)\triangle x_i=\int_{a}^{b} xf(x)dx$

Определение 1

Матожидание для случайной величины непрерывного характера, определяемой на промежутке [a,b], вычисляется как интеграл:

$M(x)=\int_{a}^{b} xf(x)dx$

В случае, когда случайная величина определена для всех вещественных чисел, интеграл принимает следующий вид:

$M(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$

Составленное выражение для математического ожидания предполагает существование абсолютной сходимости для интеграла $M(x)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx$, так как в противном случае его значение имело ярко выраженную зависимость от скорости одновременного стремления верхнего предела в сторону $\infty$ , в нижнего в сторону$- \infty$.

Дисперсия непрерывной случайной величины

Для той же случайной величины X, точки $x_i$, где i=1,2,3…m и интервала [a,b], на котором они определены составим выражение для дисперсии. Чтобы выразить дисперсию, воспользуемся её определением:

$D(X)=M(X-M(X))^2=M(X^2)-(M(X))^2$

Зная полученное выше выражение для матожидания, можем преобразовать формулу дисперсии так:

$D(X)=\sum x_i^2\cdot p_i - \left(\sum x_i\cdot p_i\right)^2= \sum x_i^2 \cdot f(x_i)\triangle x_i - \left(\sum x_i \cdot f(x_i)\triangle x_i\right)^2$

Если $ \triangle x_i$ считать бесконечно малыми и устремить к нулю, то предел сумм в выражении можно будет представить в виде интегралов следующего вида:

$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot x^2 dx - \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot xdx\right)^2$

Либо, преобразовав формулу, то же самое выражение можно записать как

$D(x)=\int_{a}^{b} [x-M(x)]^2f(x)dx$

Определение 2

Чтобы определить дисперсию для случайной величины непрерывного характера, требуется вычислить значение по формуле следующего вида:

$D(x)=\int_{a}^{b} [x-M(x)]^2f(x)dx$

Для случайных величин определённых на всей числовой следует использовать запись:

$D(x)=\int_{-\infty}^{\infty} [x-M(x)]^2f(x)dx$

Пример записи только через плотность вероятности, без использования матожидания:

$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot x^2 dx - \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot xdx\right)^2$

При этом дисперсия также остаётся матожиданием отклонения случайной величины, взятого во второй степени. А среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

$\sigma(x)=\sqrt{D(x)}$

Свойства числовых характеристик

Матожидание, как и дисперсия для случайных величин непрерывного характера обладают теми же свойствами, что матожидание и дисперсия дискретных случайных величин.

Свойства матожидания

Для матожидания будут верны следующие утверждения:

Если берётся матожидание от величины постоянной, то есть от константы, то результат будет равнять этой же самой постоянной величине.
$M(C)=C$
Когда вычисляется матожидание произведения случайной величины и константы, то такая константа может быть вынесена за пределы знака матожидания.
$M(CX)=C\dot M(X)$
Сложение или вычитание двух случайных величин независимого типа, находящихся под знаком матожидания, можно преобразовать в сложение или вычитание взятых по отдельности матожиданий от случайных величин.
$M(X\pm Y)=M(X) \pm M(Y)$
Если вычислять матожидание от произведения двух величин, то такое матожидание допустимо представить в виде умножения двух матожиданий, взятых от каждой случайной величины по отдельности.
$M(X\cdot Y)=M(X) \cdot M(Y)$
Если рассчитывается матожидание суммируемой, либо вычитаемой случайной величины с константой, то такое выражение допустимо изменить на сложение или вычитание матожидания от случайной величины и такой константы.
$M(X\pm С)=M(X) \pm С $

Свойства дисперсии

Для дисперсии непрерывной случайной величины имеют место:

Дисперсия вычисленная от постоянной величины будет равняться нулю.
D(C)=0
<> Если под знаком дисперсии есть постоянный множитель, то его допустимо вынести, предварительно возведя в квадрат.
$D(СX)=С^2D(X)$
Если имеются две случайные величины независимые друг от друга, то будет верно утверждение, что дисперсия их суммы равняется сумме их дисперсий, а именно:
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
Четвёртое свойство
<>Рассмотрим разность двух случайных величин. Общая дисперсия будет равна сумме их дисперсий. Это утверждение легко вывести из первого и третьего свойств.
$D(X-Y)=D(X)+D(Y)$

Пример 1

Пусть существует случайная величина с некоторым законом раcпределения, который задаётся плотностью вероятности f(x)=x/17 на интервале (0;5) и f(x)=0 на всей остальной числовой оси. Необходимо определить математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины.

Решение

Согласно формуле для математического ожидания получим выражение:

M(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot xdx=\int_{0}^{5}\frac{x}{17} xdx=\frac{x^3}{3\cdot 17}|_0^5\cong2,5

Используя выведенную ранее универсальную формулу для дисперсии получим:

$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot x^2 dx - \left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cdot xdx\right)^2=\int_{0}^{5} \frac{x}{17}\cdot x^2 dx - \left(\int_{0}^{5} \frac{x}{17}\cdot xdx\right)^2=\frac{x^4}{4\cdot 17}|_0^5 - (2,5)^2=9,2-6,3\cong2,9$

Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20