Определение

Элементарными преобразованиями над строками матриц называются следующие преобразования строк:

  1. умножение строки на ненулевое число;
  2. перестановка двух строк;
  3. прибавление к одной строке матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое ненулевое число.

Если от матрицы $A$ к матрице $B$ перешли с помощью эквивалентных преобразований над строками, то такие матрицы называются эквивалентными и обозначают $A \sim B$ .

Примеры элементарных преобразований

Продемонстрируем все элементарные преобразования на примере матрицы $A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы на два, то есть каждый элемент первой строки умножаем на двойку, в результате получим матрицу $B$ , эквивалентную заданной матрице $A$ :

$$A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim B=\left(\begin{array}{ccc} 1 \cdot 2 & 3 \cdot 2 & 3 \cdot 2 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 6 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right)$$

Поменяем первую и вторую строки матрицы $B$ местами, получаем эквивалентную ей матрицу $C$ :

$$B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 6 & 6 \\ 3 & 2 & 2 \end{array}\right) \sim C=\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 6 \end{array}\right)$$

От первой строки матрицы $C$ отнимем вторую строку, получаем эквивалентную матрицу $D$ :

$$C=\left(\begin{array}{lll} 3 & 2 & 2 \\ 2 & 6 & 6 \end{array}\right) \sim D=\left(\begin{array}{ccc} 3-2 & 2-6 & 2-6 \\ 2 & 6 & 6 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} 1 & -4 & -4 \\ 2 & 6 & 6 \end{array}\right)$$

В итоге делаем вывод, что матрицы $A$ и $D$ эквивалентны, так как от одной из них перешли к другой при помощи эквивалентных преобразований над строками.


Читать дальше: понятие определителя матрицы.

Слишком сложно?

Элементарные преобразования над строками матрицы.Эквивалентные матрицы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Опиши задание