Циклической (угловой, радиальной круговой) частотой называют скалярную физическую величину, которая служит мерой вращательного или колебательного движения.
Циклическая частота
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Определение циклической частоты
Определение
Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.
Циклическая частота гармонических колебаний
Колебательные движения играют важную роль в самых разных вопросах физики. Рассмотрим колебания материальной точки. При колебаниях материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение при движении в одном направлении.
Самым важным колебательными движениями являются гармонические колебания. Сущность таких колебаний проще всего рассмотреть на следующей кинематической модели. Путь точка M со скоростью ($v$) постоянной по величине движется по окружности радиуса A. При этом ее угловая скорость равна ${\omega }_0=const$ (рис.1).
Проекция точки на диаметр окружности, например на ось X, совершает колебания от $N_1$ до $N_2\ $и обратно (точка N). Такое колебание N ,будет называться гармоническим. Для его описания следует записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол ${\varphi }_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол получит приращение ${\omega }_0t$ и станет равен ${\omega }_0t+{\varphi }_0$, тогда:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1\right).\]Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.
Рассмотрим формулу (1). Параметр $A$ - максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О - центра окружности), амплитуда колебаний.
Величина ${\omega }_0$ - циклическая частота колебаний. $\varphi =({\omega }_0t+{\varphi }_0$) - фаза колебаний; ${\varphi }_0$ - начальная фаза колебаний. Циклическую частоту гармонических колебаний определим как частную производную от фазы колебаний по времени:
\[{\omega }_0=\frac{?\varphi }{\partial t}=\dot{\varphi }\left(2\right).\]Если начальная фаза колебаний равна нулю, то
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t\right)\ }\left(3\right).\]При $\varphi =\frac{\pi }{2}$ :
\[x=A{{\rm s}in \left({\omega }_0t\right)\ }\left(4\right).\]Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ - это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.
Период (T) колебаний и циклическая частота связаны формулой:
\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(5\right).\]Циклическую частоту с частотой $\nu$ связывает выражение:
\[{\omega }_0=2\pi \nu \ \left(6\right).\]Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:
\[\left[{\omega }_0\right]=\frac{рад}{с}.\]Размерность циклической частоты:
\[{\dim \left({\omega }_0\right)=\frac{1}{t}.\ }\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Какова циклическая частота гармонических колебаний точки, которые происходят по оси X, если амплитуда колебаний $A=$15 см; максимальная скорость колебаний точки $v_{max}=45\frac{см}{с}$.
Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний точки, если известно, что они происходят по оси X:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(1.1\right).\]Скорость этих колебаний найдем, используя (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:
\[v=\frac{dx}{dt}=-A{\omega }_0\left({\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\right)\left(1.2\right).\]Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:
\[v_{max}=Aщ_0\ \left(1.3\right).\]Следовательно, циклическую частоту колебаний находим как:
\[{\omega }_0=\frac{v_{max}}{A}.\]Вычислим величину циклической частоты:
\[{\omega }_0=\frac{45}{15}=3\ (\frac{рад}{с}).\]Ответ. ${\omega }_0=3\frac{рад}{с}$
Пример 2
Задание. Чему равна циклическая частота колебаний груза, массы $m$ подвешенного на пружине, коэффициент упругости которой $k$?
Решение. Сделаем рисунок.
Рассмотрим систему, которая состоит из груза, массы $m$ который закреплен на упругой пружине, с коэффициентом жесткости $k$. Будем считать, что сила тяжести, действующая на груз не существенна. Если пружину растянуть (сжать), то сила упругости, возникающая в результате деформации, действующая на груз при небольших деформациях по закону Гука равна:
\[F=-kx\ \left(2.1\right),\]где $x$ - удлинение пружины. В соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения принимает вид:
\[ma=m\ddot{x}=-kx\left(2.2\right).\]Допустим, что:
\[k=m{\omega }^2_0\ \left(2.3\right),\]тогда уравнение (2.2) преобразуется к виду:
\[\ddot{x}+{\omega }^2_0x=0\ \left(2.4\right).\]Общее решение уравнения (2.4) это:
\[x=A{\cos \left({\omega }_0t+{\varphi }_0\right)\ }\left(2.5\right).\]Значит, груз на пружине совершает колебания, циклическая частота которых равна:
\[k=m{\omega }^2_0\to {\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.\]Ответ. ${\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$
Читать дальше: гидростатика.
Нейросеть для решения любых задач и выполнения заданий
Быстрое решение учебных задач любой сложности по тексту и по фотографии
Читать дальше: Второй закон Ньютона