Значимым частным случаем перемещения материальной точки по заданной траектории служит движение по окружности. Местоположение точки на окружности можно задавать не при помощи расстояния от некоторой начальной точки (допустим A), а с помощью угла $\varphi $, который образуют радиусы, которые провели из центра окружности (O) к рассматриваемой частице (точка M) и из О в точку начала отсчета (A) (рис.1).
Скорость при движении по окружности
При движении по окружности вместе со скоростью движения по траектории ($v$- линейная скорость) вводят угловую скорость ($\omega $), которая характеризует быстроту изменения угла $\varphi $:
\[\omega =\frac{d\varphi }{dt}\left(1\right).\]
Определим, какова связь между линейной и угловой скоростями. Длину дуги АМ ($s$) (рис.1) можно найти как:
\[s=R\varphi \left(2\right),\]
тогда изменение длины дуги за время$\ \Delta t$ равно$\ \Delta s$:
\[\Delta s=R\Delta \varphi \ \left(3\right).\]
Найдем отношение $\frac{\Delta s}{\Delta t}$, разделив обе части выражения (3) на $\Delta t$:
\[\frac{\Delta s}{\Delta t}=R\frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ \left(4\right).\]
Перейдем к пределу в правой и левой частях равенства (4) при $\Delta t\to 0$, получим:
\[{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}\ }=R{\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \varphi }{\Delta t}\ }\to v=R\omega \left(5\right).\]
Ускорение материальной точки при движении по окружности
При движении по окружности (как при любом неравномерном криволинейном движении) ускорение можно разложить на две составляющие: тангенциальное ускорение (${\overline{a}}_{\tau }$), которое направлено по касательной к траектории движения точки и характеризующее быстроту изменения модуля скорости $v$ и центростремительной ускорение (${\overline{a}}_n$), направленное к центру кривизны траектории, определяющее быстроту изменения направления скорости.
Величина нормальной (центростремительной) компоненты ускорения вычисляется при помощи формулы:
\[a_n=\frac{v^2}{R}={\omega }^2R\ \left(6\right).\]
При равномерном перемещении по окружности величина центростремительного ускорения постоянна ($a_n=const).\ $Угловая скорость при равномерном движении по окружности является постоянной величиной, в этом случае ее называют циклической частотой.
Тангенциальное ускорение при движении по окружности вычисляют, как и при любом криволинейном движении:
\[{\overline{a}}_{\tau }=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(7\right).\]
Период и частота - характеристики равномерного движения по окружности
Равномерное движение по окружности можно характеризовать при помощи такой физической величины как период обращения ($T$),
который определяют как время совершения материальной точкой полного оборота. Используют и частоту ($\nu$)
обращения, которую определяют как величину обратную периоду, равную количеству оборотов за единицу времени:
\[\nu =\frac{1}{T}\left(8\right).\]
При равномерном движении по окружности угловая скорость, частота и период связаны как:
\[\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu \left(9\right).\]
Формула (9) дает возможность центростремительное ускорение определить как:
\[a_n=\frac{4{\pi }^2}{T^2}R=4{\pi }^2{\nu }^2R\ \left(10\right).\]
Отметим, что при неравномерном движении по окружности период ($T$) и частота ($\nu$) свой смысл теряют, о них можно говорить только при равномерном движении по окружности.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Центростремительное ускорение материальной точки, перемещающейся по окружности, имеющей радиус R, задано уравнением: $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$. Каково тангенциальное ускорение точки? Как направлены ускорения точки?
Решение. Сделаем рисунок.
Направления ускорений точки изображены на рис.2. ${\overline{a}}_n$ направлено к центру окружности; ${\overline{a}}_{\tau }$ - совпадает с направлением скорости движения точки, по касательной к окружности, направление вектора полного ускорения ($\overline{a}$) находим по правилу параллелограмма, так как:
\[\overline{a}={\overline{a}}_n+{\overline{a}}_{\tau }\left(1.1\right).\]
Нормальное ускорение материальной точки, движущейся по окружности можно найти как:
\[a_n=\frac{v^2}{R}\left(1.2\right).\]
Следовательно, скорость точки:
\[v=\sqrt{a_nR}\left(1.3\right).\]
Используя заданный в условии задачи закон изменения нормального ускорения $a_n=A+Bt+Ct^2(\frac{м}{с^2})$, выражение (1.3) преобразуем к виду:
\[v=\sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}\left(1.4\right).\]
Величина тангенциального ускорения определена как:
\[a_{\tau }=\frac{dv}{dt}\ \left(1.5\right).\]
Подставим правую часть выражения (1.4) в уравнение (1.5), имеем:
\[a_{\tau }=\frac{d}{dt}\left(\sqrt{\left(A+Bt+Ct^2\right)R}\right)=\sqrt{R}\frac{B+2Ct}{2\sqrt{A+Bt+Ct^2}}.\]
Ответ. $a_{\tau }=\sqrt{R}\frac{B+2Ct}{2\sqrt{A+Bt+Ct^2}}$
Пример 2
Задание. Чему равен путь (s), который проходит точка в примере 1 за время $t_1$, если A= 1 $\frac{м}{с^2}$, $B=6\ \frac{м}{с^3}$; $С=9\frac{м}{с^4}$.
Решение. Путь, пройденный точкой можно найти как:
\[s=\int\limits^{t_1}_0{vdt\left(2.1\right).}\]
Используем выражение для величины скорости, которое мы получили в первом примере:
\[v=\sqrt{(A+Bt+Ct^2)R}\left(2.2\right).\]
Подставим известные нам из условия задачи коэффициенты, преобразуем полученное выражение $v\ \left(t\right):$
\[v=\sqrt{(1+6t+9t^2)R}=\sqrt{R\ {(1+3t)}^2}=\left(1+3t\right)\sqrt{R}\left(2.3\right).\]
Вычислим интеграл (2.1), принимая во внимание выражение (2.3):
\[s=\int\limits^{t_1}_0{\left(1+3t\right)\sqrt{R}dt=\sqrt{R}\int\limits^{t_1}_0{\left(1+3t\right)dt=\sqrt{R}}\left(t_1+\frac{3}{2}{t_1}^2\right).}\]
Ответ. $s=\sqrt{R}\left(t_1+\frac{3}{2}{t_1}^2\right)$
Читать дальше: жесткость пружины.