• Главная
• Справочник
• Физика

Ускорение тела

Среднее ускорение тела

Допустим, что в моменты времени $t$ и $t+\Delta t$ скорости равны $\overline{v}(t)$ и $\overline{v}(t+\Delta t)$. Получается, что за время $\Delta t$ скорость изменяется на величину:

\[\Delta \overline{v}=\overline{v}\left(t+\Delta t\right)-\overline{v}\left(t\right)\left(1\right),\]

тогда среднее ускорение тела равно:

\[\left\langle \overline{a}\right\rangle \left(t,\ t+\Delta t\right)=\frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}\left(2\right).\]

Мгновенное ускорение тела

Устремим промежуток времени $\Delta t$ к нулю, тогда из уравнения (2) получим:

\[\overline{a}={\mathop{\lim }_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta \overline{v}}{\Delta t}=\frac{d\overline{v}}{dt}\left(3\right).\ }\]

Формула (3) является определением мгновенного ускорения. Принимая во внимание, что в декартовой системе координат:

\[\overline{r}=x\left(t\right)\overline{i}+y\left(t\right)\overline{j}+z\left(t\right)\overline{k}\left(4\right),\ а\ \overline{v}=\frac{d\overline{r}}{dt}(5)\]

получаем:

\[\overline{a}=\overline{i}\frac{d^2x}{dt^2}+\overline{j}\frac{d^2y}{dt^2}+\overline{k}\frac{d^2z}{dt^2}=\frac{d^2\overline{r}}{dt^2}\left(6\right).\]

Из выражения (6) следует, что проекции ускорения на оси координат (X,Y,Z) равны:

\[\left\{ \begin{array}{c} a_x=\frac{d^2x}{dt^2}, \\ a_y=\frac{d^2y}{dt^2} \\ a_z=\frac{d^2z}{dt^2}. \end{array} \right.(7),\]

При этом модуль ускорения найдем в соответствии с выражением:

\[a=\sqrt{a^2_x+a^2_y{+a}^2_z}.\]

Для выяснения вопроса о направлении ускорения движения тела Вектор скорости представим как:

\[\overline{v}=v\overline{\tau }\left(8\right),\]

где $v$ - модуль скорости тела; $\overline{\tau }$ - единичный вектор касательный к траектории движения материальной точки. Подставим выражение (8) в определение мгновенной скорости, получим:

\[\overline{a}={\frac{d\overline{v}}{dt} =\frac{d}{dt}\left(v\overline{\tau }\right)=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{d\overline{\tau }}{dt}\left(9\right).\ }\]

Единичный касательный вектор $\overline{\tau }$ определяется точкой траектории, которая в свою очередь характеризуется расстоянием ($s$) от начальной точки. Значит вектор $\overline{\tau }$ - это функция от $s$:

\[\overline{\tau }=\overline{\tau }\left(s\right)\left(10\right).\]

Параметр $s$ - функция от времени. Получаем:

\[\frac{d\overline{\tau }}{dt}=\frac{d\overline{\tau }}{ds}\frac{ds}{dt}\left(11\right),\]

где вектор $\overline{\tau }$ по модулю не изменяется. Это означает, что вектор $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен $\overline{\tau }$. Вектор $\overline{\tau }{\rm \ }$ является касательным к траектории, $\frac{d\overline{\tau }}{ds}$ перпендикулярен к этой касательной, то есть, направлен по нормали, которая называется главной. Единичный вектор в направлении главной нормали обозначим $\overline{n}$.

Величина $\left|\frac{d\overline{\tau }}{ds}\right|=\frac{1}{R}$, где $R$ - радиус кривизны траектории.

И так мы получили:

\[\frac{d\overline{\tau }}{ds}=\frac{\overline{n}}{R}\left(12\right).\]

Принимая во внимание, что $\frac{ds}{dt}=v$, из (9) можно записать следующее:

\[\overline{a}=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+v\frac{\overline{n}}{R}v=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}+\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(13\right).\]

Выражение (13) показывает, что полное ускорение тела состоит из двух компонент, которые взаимно перпендикулярны. Тангенциального ускорения (${\overline{a}}_{\tau }$), направленного по касательной к траектории движения и равного:

\[{\overline{a}}_{\tau }=\overline{\tau }\frac{dv}{dt}(14)\]

и нормального (центростремительного) ускорения (${\overline{a}}_n$), направленного перпендикулярно касательной к траектории в точке расположения тела по главной нормали (к центру кривизны траектории) и равного:

\[{\overline{a}}_n=\frac{v^2}{R}\overline{n}\left(15\right).\]

Модуль полного ускорения равен:

\[a=\sqrt{{\left(\frac{v^2}{R}\right)}^2+{\left(\frac{dv}{dt}\right)}^2}\left(16\right).\]

Единицей измерения ускорения в Международной системе единиц (СИ) является метр на секунду в квадрате:

\[\left[a\right]=\frac{м}{с^2}.\]

Прямолинейное движение тела

Если траекторией движения материальной точки является прямая, то вектор ускорения направлен вдоль той же прямой, что и вектор скорости. Изменяется только величина скорости.

Переменное движение называют ускоренным, если скорость материальной точки постоянно увеличивается по модулю. При этом $a>0$, векторы ускорения и скорости сонаправлены.

Если скорость по модулю убывает, то движение называют замедленным ($a<0;;\ \overline{a}\uparrow \downarrow \overline{v}$).

Движение материальной точки называют равнопеременным и прямолинейным, если движение происходит с постоянным ускорением ($\overline{a}=const$). При равнопеременном движении мгновенная скорость ($\overline{v}$) и ускорение материальной точки связаны выражением:

\[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\ \left(3\right),\]

где ${\overline{v}}_0$ - скорость тела в начальный момент времени.

Примеры задач с решением

Читать дальше: условие равновесия тела.