Скорость перемещения фронта волны называется скоростью волны.
Скорость волны
Определение скорости волны
Геометрическое место точек среды, для которых в некоторый момент времени фаза волны имеет одно и то же значение, называют волновой поверхностью или фронтом волны.
Определение
Если рассматривается одномерный случай гармонической волны, то уравнение волновой поверхности имеет вид:
\[Ф_s=\omega t-kx+\varphi \ \left(1\right),\]где${\ Ф}_s$ - фаза волны; $k=\frac{2\pi }{\lambda }$ - волновое число; $\lambda $ - длина волны; $\omega $ - циклическая частота; $\varphi $ - начальная фаза. Условию (1) в каждый момент времени соответствует только одна точка оси X c координатой, равной:
\[x=\frac{\omega t+\varphi -Ф_s}{k}\left(2\right).\]Разным значениям фазы волны $Ф_s$ соответствуют разные волновые поверхности, каждая из которых в одномерной волне вырождается в точку. Из выражения (2) видно, что волновые поверхности с течением времени перемещаются в веществе со скоростью:
\[\frac{dx}{dt}=\frac{\omega }{k}=\frac{\lambda }{T}=v\ \left(3\right).\]Для гармонических волн скорость движения поверхности волны совпадает со скоростью распространения волны. Скорость, определенная выражением (3) называют фазовой скоростью.
В случае гармонической волны скорость распространения энергии совпадает с фазовой скоростью волны.
Скорость волны зависима от среды и типа волны. Скорость волны не надо путать со скоростью колебания частиц среды в волне.
Фазовая скорость распространения продольных волн
Скорость распространения продольных упругих волн в однородных в газах или жидкостях равна:
\[v=\sqrt{\frac{K}{\rho }}\left(4\right),\]где $K$ - модуль объемной упругости вещества; $\rho =const$ - плотность среды. В газах формула (4) справедлива, если избыточное давление много меньше, чем равновесное давление невозмущенного газа.
Для определения скорости распространения продольных волн в газе используют формулу:
\[v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho }}\left(5\right),\]где $\gamma $ - показатель адиабаты; $p$ - давление газа.
Фазовая скорость распространения продольных волн в твердом теле:
\[v=\sqrt{\frac{E}{\rho }}\left(6\right),\]где $E$ - модуль Юнга вещества стержня.
Фазовая скорость распространения поперечных волн
Скорость ($v$) распространения поперечных волн в бесконечной изотропной среде можно вычислить как:
\[v=\sqrt{\frac{G}{\rho }\left(7\right),}\]где $G$ - модуль сдвига среды; $\rho $ - плотность вещества.
Упругие свойства и плотность твердого тела зависит от химического состава вещества, и она несущественно изменяется при изменении давления и температуры. Поэтому в большинстве случаев скорость распространения волны можно считать постоянной.
Групповая скорость волн
Для диспергирующих волн помимо фазовой скорости волны следует использовать такое понятие как групповая скорость. Если фазовая скорость зависит от частоты и в среде распространяются волны сложного негармонического характера, то при помощи групповой скорости характеризуют распространение волн.
Групповой скоростью называют скорость движения группы (цуга) волн, которые создают в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет. Любая реальная волна является суперпозицией гармонических волн. Скорость с которой такая волна распространяется в веществе, имеющем дисперсию на равна фазовой скорости накрадывающихся волн. Распространение волны определяют перемещением энергии колебаний, которую переносит группа вол от источника.
Групповая скорость ($u$) связана с фазовой скоростью ($v$) формулой:
\[u=v-\frac{dv}{d\lambda }\left(8\right).\]Если дисперсия отсутствует, то $\frac{dv}{d\lambda }=0$, тога фазовая и групповая скорости равны и не зависят от длины волны.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание: Какова скорость звука в азоте при температуре $T=$300 K? Считайте, что колебательные степени свободы молекул газа не возбуждаются.
Решение: Зная, что звук - продольная волна, за основу решения задачи примем формулу вычисления фазовой скорости продольной волны в газе:
\[v=\sqrt{\frac{\gamma p}{\rho }}\left(1.1\right).\]Будем считать азот идеальным газом. Тогда используем уравнение Менделеева - Клапейрона:
\[pV=\frac{m}{\mu }RT\left(1.2\right),\]где $\mu $ - молярная масса газа. Для азота она равна ${\mu }_{N_2}=28\cdot {10}^{-3}\frac{кг}{моль}$; $R=8,31\ \frac{Дж}{моль\cdot К}$ - универсальная газовая постоянная; $T$ - термодинамическая температура газа. Разделим обе части выражения (1.2) на объем:
\[p=\frac{\rho }{\mu }RT\left(1.3\right),\]выразим отношение:
\[\frac{p}{\rho }=\frac{RT}{\mu }\left(1.4\right),\]подставим полученное отношение в (1.1) скорость звука найдем как:
\[v=\sqrt{\gamma \frac{RT}{\mu }}\left(1.5\right),\]где показатель адиабаты для идеального газа с пятью степенями свободы ($i$)молекулы равен:
\[\gamma =\frac{i+2}{i}=\frac{7}{5},\]так как молекула двух атомная имеет три степени свободы поступательного движения и две вращательного (рис.1).
Вычислим скорость звука в азоте:
\[v=\sqrt{\frac{7}{5}\cdot \frac{8,31\cdot 300}{28\cdot {10}^{-3}}}\approx 350\ \left(\frac{м}{с}\right).\]Ответ: $v=350\frac{м}{с}$
Пример 2
Задание: Какова скорость распространения волны в упругой среде, если разность фаз точек, которые находятся на расстоянии $\Delta x,$ равна $\Delta \varphi $ при частоте колебаний равной $\nu $?
Решение: Рассмотрим уравнение одномерной плоской волны:
\[s=A{\cos \left[\omega t-kx+\varphi \right]\ }\left(2.1\right).\]где
\[k=\frac{2\pi }{\lambda }=\frac{\omega }{v}\left(2.2\right).\]Фазы колебаний двух точек в этой волне равны:
\[{\varphi }_1=\omega t-kx_1+\varphi ;;\ {\varphi }_2=\omega t-kx_2+\varphi \left(2.3\right).\]Найдем их разность:
\[\Delta \varphi =\omega t-kx_2+\varphi -\left(\omega t-kx_1+\varphi \right)=k\left(x_2-x_1\right)=\frac{\omega }{v}\Delta x\left(2.4\right).\]Выразим циклическую частоту ($\omega $) через частоту $\nu $:
\[\omega =2\pi \nu \ \left(2.5\right).\]Выражение (2.4) преобразуем к виду:
\[\Delta \varphi =\frac{\omega}{v} \Delta x=\frac{2 \pi \nu}{v} \Delta x\left(2.6\right).\]Из (2.6) выразим искомую скорость:
\[v=\frac{2 \pi \nu \Delta x}{\Delta \varphi }(\frac{м}{с}).\]Ответ: $v=\frac{2 \pi \nu \Delta x}{\Delta \varphi }\frac{м}{с}$
Читать дальше: скорость движения.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
