Потенциальной энергией ($E_p$) взаимодействующих тел называют энергию, которая зависит от взаимного расположения рассматриваемых тел. Работа ($A$) консервативных сил равна изменению потенциальной энергии системы тел находящихся во взаимодействии:
\[A=E_{p1}-E_{p2}\left(1\right).\]Потенциальная энергия
Определение
Определение
Потенциальную энергию можно вычислить с точностью до произвольной постоянной величины. Добавляя ко всем значениям потенциальной энергии постоянную величину, получают новое значение потенциальной энергии. При таком изменении потенциальной энергии работа (1) не изменяется. Это результат можно сформулировать так: Ноль потенциальной энергии можно выбрать произвольно. При переходе к другому нулевому уровню потенциальной энергии величина потенциальной энергии изменится во всех точках на одну и ту же величину.
Когда говорят о потенциальной энергии тела, всегда следует указывать, в каком поле находится это тело (с каким телом взаимодействует).
Потенциальная энергия разных видов потенциальных сил
Потенциальная энергия упругих сил равна:
\[E_{p_u}=\frac{k{\Delta x}^2}{2}\left(2\right),\]где $k$ - коэффициент упругости пружины; $\Delta x$ - величина удлинения пружины. Потенциальная энергия упругих сил равна нулю, когда пружина не деформирована $(\Delta x=0).$
Потенциальная энергия сил Кулона в системе СИ равна:
\[E_{p_k}=\frac{q_1q_2}{4\pi {\varepsilon }_0r}\left(3\right),\]где $q_1{,q}_2$ - точечные электрические заряды; ${\varepsilon }_0$ - электрическая постоянная; $r$ - расстояние между зарядами. Потенциальная энергия приближается к нулю, если расстояние между зарядами увеличивается до бесконечности. Если оба взаимодействующих заряда обладают одинаковыми знаками, то они отталкиваются, при этом потенциальная энергия больше нуля. Если заряды имеют противоположные знаки, то они притягиваются, а потенциальная энергия их взаимодействия отрицательна.
Потенциальную энергию сил гравитации находят как:
\[E_{p_G}=-\gamma \frac{m_1m_2}{r}\left(4\right),\]где $\gamma $ - гравитационная постоянная; $m_1;;m_2$ - массы материальных точек; $r$ - расстояние между точками. В данном случае потенциальная энергия является отрицательной величиной, так как сила гравитации - это сила притяжения. Потенциальная энергия стремится к нулю, если расстояние между массами бесконечно велико.
Потенциальная энергия тела поднятого над поверхностью Земли равна:
\[E_{p_G}=г\frac{mMh}{R_Z\left(R_Z+h\right)}\left(5\right),\]где $M$ - масса Земли; $R_Z$ - радиус Земли; $h$ - высота над поверхностью Земли, на которое поднято тело; $m$ - масса тела. Если расстояние от поверхности Земли до рассматриваемого тела невелико ($h\ll R_Z$), то можно использовать приближенную формулу расчета потенциальной энергии для этого тела в поле Земли:
\[E_p=mgh\ \left(6\right).\]Единицей измерения потенциальной энергии в Международной системе единиц служит джоуль (Дж):
\[\left[E_p\right]=Дж=Н\cdot м=\frac{кг\cdot м^2}{с^2}.\]Потенциальная энергия и потенциальная сила
В общем случае потенциальная сила, которая действует на тело в некоторой точке потенциального поля и потенциальная энергия тела связывает соотношение:
\[\overline{F}=-gradE_p=-\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}\overline{i}+\frac{\partial E_p}{\partial y}\overline{j}+\frac{\partial E_p}{\partial z}\overline{k}\right)\left(7\right),\] где $\overline{i},\ \overline{j},\overline{k}$ - единичные векторы (орты). Если поле сил имеет сферическую симметрию, то выражение (7) можно преобразовать к виду: \[F=-\frac{dE_p}{dr}\left(8\right).\]Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. При действии некоторой силы $F$ был поднят груз массой $m=10$кг на высоту $h=10$ м. Какой потенциальной силой обладает груз?
Решение. Сделаем рисунок.
Тело поднято над землей на высоту много меньшую, чем радиус Земли, значит для вычисления потенциальной энергии тела поднятого над Землей воспользуемся формулой:
\[E_p=mgh\ \left(1.1\right).\]Поверхность Земли примем за ноль потенциальной энергии. Проведем вычисления потенциальной энергии нашего тела, принимая во внимание, что ускорение свободного падения равно $g=9,8\ \frac{м}{с^2}$:
\[E_p=10\cdot 9,8\cdot 10=980\ \left(Дж\right).\]Ответ. $E_p=980$Дж
Пример 2
Задание. Материальная точка движется по оси OX в положительном направлении оси в силовом поле, потенциальная энергия которого задана графиком (рис.2). Как изменяется модуль ускорения этой материальной точки?
Решение. Потенциальная энергия задана прямой (рис.2), уравнение которой запишем как:
\[E_p=\alpha x\ \left(2.1\right),\]где $\alpha =const$. Материальная точка движется под воздействием потенциальной силы, которая с потенциальной энергией связана выражением:
\[\overline{F}=-gradE_p=-\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}\overline{i}+\frac{\partial E_p}{\partial y}\overline{j}+\frac{\partial E_p}{\partial z}\overline{k}\right)\left(2.2\right).\]Так как потенциальная энергия зависит только от координаты x, то формула (2.2) предстанет в виде:
\[\overline{F}=-\frac{dE_p}{dx}\overline{i}\ \left(2.3\right).\]Из уравнений (2.1) и (2.2), получим:
\[\overline{F}=-\frac{d(\alpha x)}{dx}\overline{i}=-\alpha \overline{i}\ \left(2.4\right).\]Сила равна:
\[\overline{F}=m\overline{a\ }\left(2.5\right),\]где $m$ - масса нашей материальной точки; $\overline{a\ }$ - ее ускорение, тогда:
\[m\overline{a\ }=-\alpha \overline{i}\to m\left|a\right|=\alpha \to \left|a\right|=\frac{\alpha }{m}.\]Ответ. Модуль ускорения не изменяется.
Читать дальше: сила трения.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
