Векторную величину ($\overline{p}$), служащую мерой механического движения равную произведению массы ($m$) этой точки на скорость ($\overline{v}$) ее перемещения:
\[\overline{p}=m\overline{v}\left(1\right)\]называют импульсом материальной точки.
Импульс тела. Закон сохранения импульса
Классическое определение импульса тела
Определение
Вектор импульса имеет такое же направление как вектор скорости, так как масса является положительной величиной.
В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения импульса считают килограмм - метр в секунду ($\frac{кг\cdot м}{с}$):
\[\left[p\right]=\left[m\right]\left[v\right]=кг\cdot \frac{м}{с}.\]
Определение
Импульсом тела называют импульс системы материальных точек, которые составляют данное тело:
\[\overline{p}=\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{v}}_i\left(2\right),}\]где $m_i$ - масса элемента тела (материальной тоски системы); ${\overline{v}}_i$ - скорость данного элемента тела; $N$ - число материальных точек. Суммирование импульсов точек проводят с учетом их направлений.
Импульс и уравнение движения
Если на тело действуют другие тела, то мерой этого воздействия можно считать величину $\frac{d\overline{p}}{dt}$. Эта производная зависит от положения материальной точки по отношению к окружающим телам, иногда даже от ее скорости: $\frac{d\overline{p}}{dt}(\overline{r},\overline{v}{\rm )}$. Такой функцией является сила ($\overline{F}$($\overline{r},\overline{v}$)). Второй закон Ньютона в данной трактовке записывают как:
\[\overline{F}=\frac{d\overline{p}}{dt}\left(3\right),\]где $\overline{F}$ - можно считать векторной суммой всех внешних сил, которые действуют на тело.
Содержание второго закона Ньютона заключается в том, что сила зависит только от координат и скорости материальной точки. Уравнение (3) называют уравнением движения материальной точки. Конкретное содержание этот закон Ньютона получает, когда определена функция $\overline{F}$($\overline{r},\overline{v}$). К установлению вида этой функции сводится основная задача механики для каждого конкретного случая.
Из формулы (3) получим, что:
\[\Delta \overline{p}=\int\limits^{t_2}_{t_1}{\overline{F}dt}\left(4\right),\]$\Delta \overline{p}$ - изменение импульса тела.
Если сила, действующая на материальную точку постоянна, то второй закон Ньютона можно представить в форме:
\[\overline{F}\Delta t=\Delta \overline{p}\left(5\right).\]Формула (5) означает, что изменение импульса материальной тела прямо пропорционально силе, которая на нее воздействует и сонаправлено с этой силой. Величину $\overline{F}\Delta t$ называют импульсом силы. Из уравнения (5) следует, что равные изменения импульса точки могут быть получены в результате действия большой по модулю силы за маленький промежуток времени или воздействуя на точку небольшой силой длительное время.
Закон сохранения импульса
Если на тело не действуют внешние силы ($\overline{F}=0$) или их действие взаимно компенсируется, то из уравнения движения (3), мы видим, что:
\[\frac{d\overline{p}}{dt}=0\to \overline{p}=const\left(6\right).\]Для системы тел закон сохранения импульса тоже выполняется, только формулу (6) следует читать так: векторная сумма импульсов всех тел изолированной системы не изменяется при любых взаимодействиях, которые происходят внутри рассматриваемой системы. Это не значит, что какие - то тела системы не могут изменять свой импульс, но суммарный импульс системы остается неизменным.
Для материальной точки закон сохранения импульса закон сохранения импульса означает, что при отсутствии внешних сил, она перемещается прямолинейно и равномерно. Для системы материальных точек в нерелятивистском случае закон говорит о том, что центр масс системы движется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения импульса выполняется и в релятивистском случае и нерелятивистском. Но в релятивистском случае нельзя говорить о равномерном и прямолинейном движении центра масс, так как в этом случае центра масс не существует. Но существует система центра масс, в которой закон сохранения импульса сводится к равенству $\overline{p}=0$, и это означает, что данная система при любых процессах внутри нее остается системой центра масс.
Примеры задач на импульс тела и закон сохранения импульса
Пример 1
Задание. Контейнер с песком массой $M$ стоит на рельсах на горизонтальном участке дороги. В песок падает тело массой $m,$ и остается в нем. С какой скоростью станет двигаться контейнер, если в момент попадания скорость тела была равна $v$, ее направление было сверху вниз под углом $\alpha $ к горизонту (рис.1)? Силу трения не учитывать.
Решение. Задачу будем решать на основе закона сохранения импульса, так как в отсутствии сил трения систему из двух тел (контейнер - тело) можно считать изолированной. Тогда закон сохранения импульса запишем в виде:
\[\sum{{\overline{p}}_1=\sum{{\overline{p}}_2}\left(1.1\right),}\]где ${\overline{p}}_1$ - импульс системы до попадания тела в песок контейнера. Этот импульс будет равен импульсу движущегося тела, так как скорость контейнера равна нулю:
\[{\overline{p}}_1=m\overline{v\ }\left(1.2\right).\]Импульс системы после того, как тело застряло в песке, равен:
\[{\overline{p}}_2=\left(m+M\right)\overline{V}\left(1.3\right).\]Согласно закону сохранения импульса имеем:
\[m\overline{v\ }=\left(m+M\right)\overline{V}\left(1.4\right).\]Запишем проекцию уравнения (1.4) на ось X, имеем:
\[mv{\cos \alpha =\left(m+M\right)V\left(1.5\right).\ }\]Из уравнения (1.5) выразим искомую скорость:
\[V=\frac{mv\ {\rm cos}\alpha }{m+M}.\]Ответ. $V=\frac{mv\ {\rm cos}\alpha }{m+M}$
Пример 2
Задание. Каково приращение импульса тела ($\Delta \overline{p}$) за время полета $\tau $, которое бросили под углом к горизонту с начальной скоростью ${\overline{v}}_0$? Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение. Изменение импульса будем искать, используя формулу:
\[\Delta \overline{p}=\int\limits^{\tau }_0{\overline{F}dt}\left(2.1\right),\]где $\tau $ - время полета тела. Тело при заданных условиях движется в поле тяжести Земли:
\[\overline{F}=m\overline{g\ }\left(2.2\right).\]Из (2.2) очевидно, что сила не изменяется при движении тела. Подставим (2.2) в интеграл, получим:
\[\Delta \overline{p}=\int\limits^{\tau }_0{m\overline{g\ }dt}=m\overline{g\ }\tau .\]Ответ. $\Delta \overline{p}=m\overline{g\ }\tau $
Читать дальше: колебательное движение.
Warning: file_put_contents(./students_count.txt): failed to open stream: Permission denied in /var/www/webmath-q2ws/data/www/webmath.ru/poleznoe/guide_content_banner.php on line 20
Статьи по теме
Поможем выполнить
любую работу
